カオス挙動を示す強制ダフィング方程式のポアンカレ切断面 数学 におけるダフィング方程式 （ダフィングほうていしき、英 : Duffing equation ）あるいはダフィング振動子 （Duffing oscillator）は、ある減衰的 な駆動振動子 をモデル化するために用いられる非線型 の二階常微分方程式 である。次の式で与えられる：
x ¨ + δ x ˙ + α x + β x 3 = γ cos ( ω t ) . {\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).\,} ここで（未知）函数 x = x (t )t x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} x 導函数 、すなわち速度 で、 x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} x 加速度 である。数 δ , α , β , γ {\displaystyle \delta ,\alpha ,\beta ,\gamma } ω {\displaystyle \omega }
この式は、（ β = δ = 0 {\displaystyle \beta =\delta =0} 単振動 よりも複雑なポテンシャル を持つ減衰振動子の動きを表す。例えば、物理学の言葉で言うと、ばねの剛性 がフックの法則 に従わないばね振り子（英語版） のモデルと見なされる。
ダフィング方程式は、カオス的挙動 を示す力学系の一例である。ジャパニーズ・アトラクタ がダフィング方程式におけるカオスの例としてよく知られている。さらにダフィングシステムは、周波数ヒステリシスの挙動のような、跳躍共振現象を周波数反応において示すものである。
パラメータ δ {\displaystyle \delta } 減衰 の大きさを制御する。 α {\displaystyle \alpha } 剛性 の大きさを制御する。 β {\displaystyle \beta } β = 0 {\displaystyle \beta =0} γ {\displaystyle \gamma } 振幅 を制御する。 γ = 0 {\displaystyle \gamma =0} ω {\displaystyle \omega } 周波数 を制御する。解の方法 γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} γ < 0 {\displaystyle \gamma <0} γ < 0 {\displaystyle \gamma <0} 一般に、ダフィング方程式の厳密な記号解が得られるとは限らない。しかし、以下のような多くの近似手法が利用できる：
フーリエ級数 展開は、任意の正確さでの方程式の運動を与える。ダフィング項と呼ばれる x 3 {\displaystyle x^{3}} 摂動 された単振動子として扱われる。 フロベニウス法（英語版） を利用すれば、複雑だが実行可能な解を得ることができる。オイラー法 やルンゲ＝クッタ法 のような様々な数値的手法 が利用できる。非減衰（ δ = 0 {\displaystyle \delta =0} γ = 0 {\displaystyle \gamma =0} ヤコビ楕円函数（英語版） を利用することで厳密解を得ることができる。
非減衰かつ非強制振動子の解の有界性 非減衰かつ非強制（ γ = δ = 0 {\displaystyle \gamma =\delta =0} x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} [1]
x ˙ ( x ¨ + α x + β x 3 ) = 0 ⇒ d d t [ 1 2 ( x ˙ ) 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 ] = 0 ⇒ 1 2 ( x ˙ ) 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 = H . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\&\Rightarrow {\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H.\end{aligned}}} ここで H は定数である。H の値は初期条件 x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} x ˙ ( 0 ) {\displaystyle {\dot {x}}(0)}
H に y = x ˙ {\displaystyle y={\dot {x}}} ハミルトニアン（英語版） であることが分かる：
x ˙ = + ∂ H ∂ y , {\displaystyle {\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},} y ˙ = − ∂ H ∂ x {\displaystyle {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}} with H = 1 2 y 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 . {\displaystyle \quad H={\frac {1}{2}}y^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}.} α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } 有界 である[1]
| x | ≤ 2 H α {\displaystyle |x|\leq {\sqrt {\frac {2H}{\alpha }}}} and | x ˙ | ≤ 2 H , {\displaystyle |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},} ここでハミルトニアン H
参考文献 文中 その他 Bender, C.M.; Orszag, S.A. (1999), Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory , Springer, pp. 545–551, ISBN 9780387989310 Addison, P.S. (1997), Fractals and Chaos: An illustrated course , CRC Press, pp. 147–148, ISBN 9780849384431 外部リンク Duffing oscillator （英語） - スカラーペディア 百科事典「ダフィング方程式」の項目。 Weisstein, Eric W. "Duffing Differential Equation". mathworld.wolfram.com (英語). 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\&\Rightarrow {\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d7763f56c2513118658bd2b5e2f08082eebb39)
