サバテサイクル

サバテサイクル(Sabathe cycle)は、中・高速の圧縮着火機関（ディーゼルエンジン・焼玉エンジン）の理論サイクル(空気標準サイクル)であり、 複合サイクルとよばれることもある [1] [2]。 実際のディーゼルエンジンでは燃料噴射後、着火するまでに着火遅れがあり、 この間に噴射された燃料はシリンダー内に燃料・空気の混合気を形成する。 これに着火すると短期間で燃焼し(予混合燃焼)、等積に近い燃焼となり、 低速機関でない限り、これを無視することはできない。 その後、続いて噴射される燃料が空気と混合しつつ順次燃焼し(拡散燃焼)、 等圧に近い燃焼となる。 この等積燃焼と等圧燃焼の双方を考慮したものが、サバテサイクルである。

サイクル

サバテサイクルは、圧縮着火機関の実際のサイクルを、 下表 1 のような比熱一定の理想気体(空気)の可逆なクローズドサイクル (空気標準サイクル)で置き換えたものと考えることができる [1] [2]。

表 1 サイクルの置き換え
実機関の状態変化 置換後の状態変化 備考
1 → 2 空気の圧縮 断熱(等エントロピー)圧縮
2 → 3 予混合燃焼 等積加熱 この間のピストン移動を無視
3 → 4 拡散燃焼 等圧加熱膨張 噴射の間もピストンは移動
4 → 5 噴射締切・燃焼ガスの膨張 断熱(等エントロピー)膨張
5 → 1 排気・吸気(または掃気) 等積冷却 この間のピストン移動を無視
  • 図 1. サバテサイクルの p-V 線図
    図 1. サバテサイクルの p-V 線図
  • 図 2. サバテサイクルの T-S 線図
    図 2. サバテサイクルの T-S 線図

サバテサイクルのp-V 線図および T-S 線図を図 1、2 に示す。 また、吸気状態を V1、p1、T1、S1 としたときの、 サイクル上の各点の状態量を下表 2 に示す。

表 2 サイクル各点の状態量
体積 圧力 絶対温度 エントロピー
1 V 1 {\displaystyle V_{1}} p 1 {\displaystyle p_{1}} T 1 {\displaystyle T_{1}} S 1 {\displaystyle S_{1}}
1→2 p = p 1 ( V 1 V ) κ {\displaystyle p=p_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\kappa }} T = T 1 ( V 1 V ) κ − 1 {\displaystyle T=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\kappa -1}} S = S 1 {\displaystyle S=S_{1}}
2 V 2 = V 1 / ϵ {\displaystyle V_{2}=V_{1}/\epsilon } p 2 = p 1 ϵ κ {\displaystyle p_{2}=p_{1}\epsilon ^{\kappa }} T 2 = T 1 ϵ κ − 1 {\displaystyle T_{2}=T_{1}\epsilon ^{\kappa -1}} S 2 = S 1 {\displaystyle S_{2}=S_{1}}
2→3 V = V 2 {\displaystyle V=V_{2}} T = T 2 p p 2 {\displaystyle T=T_{2}{\frac {p}{p_{2}}}} S = S 2 + m c v ln ⁡ T T 2 {\displaystyle S=S_{2}+mc_{v}\ln {\frac {T}{T_{2}}}}
3 V 3 = V 1 / ϵ {\displaystyle V_{3}=V_{1}/\epsilon } p 3 = p 1 α ϵ κ {\displaystyle p_{3}=p_{1}\alpha \epsilon ^{\kappa }} T 3 = T 1 α ϵ κ − 1 {\displaystyle T_{3}=T_{1}\alpha \epsilon ^{\kappa -1}} S 3 = S 1 + m c v ln ⁡ α {\displaystyle S_{3}=S_{1}+mc_{v}\ln \alpha }
3→4 p = p 3 {\displaystyle p=p_{3}} T = T 3 V V 3 {\displaystyle T=T_{3}{\frac {V}{V_{3}}}} S = S 3 + m c p ln ⁡ T T 3 {\displaystyle S=S_{3}+mc_{p}\ln {\frac {T}{T_{3}}}}
4 V 4 = V 1 σ / ϵ {\displaystyle V_{4}=V_{1}\sigma /\epsilon } p 4 = p 1 α ϵ κ {\displaystyle p_{4}=p_{1}\alpha \epsilon ^{\kappa }} T 4 = T 1 α σ ϵ κ − 1 {\displaystyle T_{4}=T_{1}\alpha \sigma \epsilon ^{\kappa -1}} S 4 = S 1 + m c v ln ⁡ α + m c p ln ⁡ σ {\displaystyle S_{4}=S_{1}+mc_{v}\ln \alpha +mc_{p}\ln \sigma }
4→5 p = p 4 ( V 4 V ) κ {\displaystyle p=p_{4}\left({\frac {V_{4}}{V}}\right)^{\kappa }} T = T 4 ( V 4 V ) κ − 1 {\displaystyle T=T_{4}\left({\frac {V_{4}}{V}}\right)^{\kappa -1}} S = S 4 {\displaystyle S=S_{4}}
5 V 5 = V 1 {\displaystyle V_{5}=V_{1}} p 5 = p 1 α σ κ {\displaystyle p_{5}=p_{1}\alpha \sigma ^{\kappa }} T 5 = T 1 α σ κ {\displaystyle T_{5}=T_{1}\alpha \sigma ^{\kappa }} S 5 = S 1 + m c v ln ⁡ α + m c p ln ⁡ σ {\displaystyle S_{5}=S_{1}+mc_{v}\ln \alpha +mc_{p}\ln \sigma }
5→1 V = V 5 {\displaystyle V=V_{5}} T = T 5 p p 5 {\displaystyle T=T_{5}{\frac {p}{p_{5}}}} S = S 5 + m c v ln ⁡ T T 5 {\displaystyle S=S_{5}+mc_{v}\ln {\frac {T}{T_{5}}}}
ϵ = V 1 V 2 {\displaystyle \epsilon ={\frac {V_{1}}{V_{2}}}} ：圧縮比、   α = p 3 p 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {p_{3}}{p_{2}}}} ：圧力(上昇)比、   σ = V 4 V 2 {\displaystyle \sigma ={\frac {V_{4}}{V_{2}}}} ：噴射締切比、

κ = c p c v = 1.40 {\displaystyle \kappa ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}=1.40} ：比熱比、   m {\displaystyle m} ：質量、   c p {\displaystyle c_{p}} ：定圧比熱、   c v {\displaystyle c_{v}} ：定積比熱

熱量、仕事、熱効率

上で求めた各点の状態量を用いて、1 サイクルあたりの加熱量、冷却量、仕事、 および熱効率、平均有効圧力は下記のように求まる。

  • シリンダー内空気質量： m = P 1 V 1 R T 1 , R = c p − c v = 287.2   J / ( k g K ) {\displaystyle m={\frac {P_{1}V_{1}}{RT_{1}}},\quad R=c_{p}-c_{v}=287.2{~{\rm {J/(kgK)}}}}
  • 加熱量： Q 1 = m c v ( T 3 − T 2 ) + m c p ( T 4 − T 3 ) = m c v T 1 [ α − 1 + κ α ( σ − 1 ) ] ϵ κ − 1 {\displaystyle Q_{1}=mc_{v}(T_{3}-T_{2})+mc_{p}(T_{4}-T_{3})=mc_{v}T_{1}[\alpha -1+\kappa \alpha (\sigma -1)]\epsilon ^{\kappa -1}}
  • 冷却量： Q 2 = m c v ( T 5 − T 1 ) = m c v T 1 ( α σ κ − 1 ) {\displaystyle Q_{2}=mc_{v}(T_{5}-T_{1})=mc_{v}T_{1}(\alpha \sigma ^{\kappa }-1)}
  • 仕事： W = Q 1 − Q 2 = m c v T 1 { [ α − 1 + κ α ( σ − 1 ) ] ϵ κ − 1 − ( α σ κ − 1 ) } {\displaystyle W=Q_{1}-Q_{2}=mc_{v}T_{1}\{[\alpha -1+\kappa \alpha (\sigma -1)]\epsilon ^{\kappa -1}-(\alpha \sigma ^{\kappa }-1)\}}
  • 熱効率： η = 1 − Q 2 Q 1 = 1 − 1 ϵ κ − 1 ( α σ κ − 1 ) [ α − 1 + κ α ( σ − 1 ) ] {\displaystyle \eta =1-{\frac {Q_{2}}{Q_{1}}}=1-{\frac {1}{\epsilon ^{\kappa -1}}}{\frac {(\alpha \sigma ^{\kappa }-1)}{[\alpha -1+\kappa \alpha (\sigma -1)]}}}
  • 平均有効圧力： p m = W V 1 − V 2 = p 1 [ α − 1 + κ α ( σ − 1 ) ] ϵ κ − ( α σ κ − 1 ) ϵ ( κ − 1 ) ( ϵ − 1 ) {\displaystyle p_{m}={\frac {W}{V_{1}-V_{2}}}=p_{1}{\frac {[\alpha -1+\kappa \alpha (\sigma -1)]\epsilon ^{\kappa }-(\alpha \sigma ^{\kappa }-1)\epsilon }{(\kappa -1)(\epsilon -1)}}}

この結果より、以下のことがわかる。

  1. 圧縮比 ε を大きく(高く)すれば熱効率が大きく向上する。
  2. このサイクルは、噴射締切比 σ が小さくなれば (1 に近づけば) オットーサイクルに近づき、圧力比 α が小さくなれば (1 に近づけば) ディーゼルサイクルに近づく。
  3. オットーサイクル(σ=1)とディーゼルサイクル(α=1)を比較すると、圧縮比 ε が等しければ、オットーサイクルの方が熱効率が良いが、最高温度 T4 が等しければ、（図 2 で点 3 が左方へ移動する方が平均加熱温度が高くなるので、)ディーゼルサイクルの方が熱効率が良い。実際はディーゼルエンジンの方が圧縮比が格段に高く、最高温度も高いので、理論サイクルの面でもディーゼルエンジンの方が熱効率が良い。

参考文献

  1. ^ a b 柘植盛男、『機械熱力学』、朝倉書店(1967)
  2. ^ a b 谷下市松、『工学基礎熱力学』、裳華房(1971)、ISBN 4-7853-6008-9.

関連項目