クリロフ部分空間

クリロフ部分空間（クリロフぶぶんくうかん、英語: Krylov subspace）線型代数において、n次正方行列Aとn次ベクトルbによって生成されるr次クリロフ部分空間は、bとAのべき乗の像が張る線型部分空間である。

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {b}})=\operatorname {span} \{{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {b}},\dots ,{\boldsymbol {A}}^{r-1}{\boldsymbol {b}}\}.}$

ロシアの応用数学者で海軍技術者であったアレクセイ・クリロフ（英語版）にちなんで名づけられた。

大規模疎行列の1個または少数の固有値の計算や、大規模な連立一次方程式の求解に用いられる現代的な反復法では、行列を消去法などで順次変型すると疎行列の構造が崩れてしまい次第に密化するので演算量や記憶を保持する量が共に増大してしまい，ついには扱いきれなくなりがちである。そこでクリロフ系の解法では，元の疎行列を変型せずに，ベクトルに対する線型の作用素としてだけ利用する。つまり与えられたベクトルに対して行列を乗じるという計算を，行列の疎性を活かして（行列が対称であれば対称性も）行うのである。 ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$を初期ベクトルとすると、${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$を順に掛けて${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {b}}}$、${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {b}}}$を得るといった方法を取る。このようなアルゴリズムを総称して、クリロフ部分空間法と呼ぶ。これは数値線形代数において最も成功した手法の一つである。

ベクトル列は急速に線型従属に近づくため、クリロフ部分空間を用いる方法には、エルミート行列に対してはランチョス法、非エルミート行列に対してはアーノルディ法などの直交化手法が含まれることが多い。

主なクリロフ部分空間法として、アーノルディ法、ランチョス法、GMRES法（generalized minimum residual）、 BiCGSTAB法 （stabilized biconjugate gradient, 共役勾配法の一つ）、QMR法 (quasi minimal residual)^[1][2]、 TFQMR法 (transpose-free QMR)^[3]、MINRES法 (minimal residual)^[4] などが知られている。

出典

参考文献

• Saad, Yousef (2003). Iterative methods for sparse linear systems (2nd ed. ed.). SIAM. ISBN 0898715342. OCLC 51266114 
• David S. Watkins (2008). The Matrix Eigenvalue Problem: GR and Krylov Subspace Methods, SIAM.
• Liesen, J. and Strakos, Z. (2012). Krylov subspace methods: principles and analysis. OUP Oxford.
• Gerard Meurant and Jurjen Duintjer Tebbens (2020). "Krylov methods for nonsymmetric linear systems - From theory to computations", Springer Series in Computational Mathematics, vol.57. ISBN 978-3-030-55250-3, doi:10.1007/978-3-030-55251-0.
• Iman Farahbakhsh: "Krylov Subspace Methods with Application in Incompressible Fluid Flow Solvers", Wiley, ISBN 978-1119618683 (2020).
• 藤野清次、阿部邦美、杉原正顯、中嶋徳正：「線形方程式の反復解法」、丸善、 ISBN 978-4621087411（2013年9月27日）。

外部リンク

• MINRES 法
• Quasi-Minimal Residual (QMR)
• NAG FL Interface
• Insights into block rational Krylov methods (PDF)
• Black, Noel and Moore, Shirley. "Quasi-Minimal Residual Method". mathworld.wolfram.com (英語).
• 倉本亮世、多田野寛人：「複数右辺ベクトルを持つ線形方程式に対するブロック積型反復解法の近似解高精度化」、日本応用数理学会論文誌、2020年、30巻、4号、p. 290-319。

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
行列値関数	行列指数関数 行列の対数 行列の平方根
その他	スカラー ケイリー・ハミルトンの定理 ペロン＝フロベニウスの定理 シューア補行列 シルヴェスターの慣性法則
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