Teorema della mediana

In geometria piana, il teorema della mediana è un teorema che lega la lunghezza della mediana in un triangolo alle lunghezze dei tre lati. È attribuito ad Apollonio.[1] La sua dimostrazione si può ricondurre alla legge del coseno o teorema di Carnot.

Enunciato

In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato.

In altri termini, con riferimento al triangolo OAB vale l'identità:

2 O M ¯ 2 = O A ¯ 2 + O B ¯ 2 − A B ¯ 2 2 {\displaystyle \displaystyle 2{\overline {OM}}^{2}={\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}-{{\overline {AB}}^{2} \over 2}} , dove M è il punto medio di AB.

Prima dimostrazione

Ponendo:

O A → = a → O B → = b → O M → = m → . {\displaystyle \displaystyle {\overrightarrow {\displaystyle OA}}={\vec {a}}\quad {\overrightarrow {\displaystyle OB}}={\vec {b}}\quad {\overrightarrow {\displaystyle OM}}={\vec {m}}.}

Si ha:

a → = m → − u → , b → = m → + u → {\displaystyle \displaystyle {\vec {a}}={\vec {m}}-{\vec {u}},\quad {\vec {b}}={\vec {m}}+{\vec {u}}}

Elevando al quadrato scalare i membri delle ultime uguaglianze si ha:

a → 2 = ( m → − u → ) 2 b → 2 = ( m → + u → ) 2 {\displaystyle \displaystyle {\vec {a}}^{2}=({\vec {m}}-{\vec {u}})^{2}\quad {\vec {b}}^{2}=({\vec {m}}+{\vec {u}})^{2}}

sviluppando i calcoli si ottiene:

m → 2 − 2 m → ⋅ u → + u → 2 = a → 2 {\displaystyle \displaystyle {\vec {m}}^{2}-2{\vec {m}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}^{2}={\vec {a}}^{2}}

m → 2 + 2 m → ⋅ u → + u → 2 = b → 2 {\displaystyle \displaystyle {\vec {m}}^{2}+2{\vec {m}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}^{2}={\vec {b}}^{2}}

successivamente sommando membro a membro:

2 m 2 + 2 u 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle \displaystyle 2m^{2}+2u^{2}=a^{2}+b^{2}}

e infine:

2 m 2 = a 2 + b 2 − ( 2 u ) 2 2 {\displaystyle \displaystyle 2m^{2}=a^{2}+b^{2}-{(2u)^{2} \over 2}} .

Seconda dimostrazione

Ponendo:

O M A ^ = θ , O M B ^ = π − θ {\displaystyle \displaystyle {\widehat {OMA}}=\theta ,\quad {\widehat {OMB}}=\pi -\theta }

applicando, ora, il teorema del coseno ai triangoli OMA e OMB, si ha:

b 2 = m 2 + u 2 − 2 m u cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle \displaystyle b^{2}=m^{2}+u^{2}-2mu\cos(\theta )}

a 2 = m 2 + u 2 − 2 m u cos ⁡ ( π − θ ) = m 2 + u 2 + 2 m u cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle \displaystyle a^{2}=m^{2}+u^{2}-2mu\cos(\pi -\theta )=m^{2}+u^{2}+2mu\cos(\theta )}

Sommando quindi membro a membro le ultime uguaglianze si perviene all'identità richiesta.

Note

  1. ^ Apollonio di Perga, su imati.cnr.it. URL consultato il 7 ottobre 2012 (archiviato dall'url originale il 17 febbraio 2013).
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