Teorema del confronto di Sturm-Picone

In matematica, nel campo delle equazioni differenziali ordinarie, il teorema del confronto di Sturm–Picone, che prende nome da Jacques Sturm e Mauro Picone, è un noto teorema che permette di ricavare informazioni sul comportamento delle soluzioni di equazioni differenziali lineari confrontandole con le soluzioni di equazioni simili.

Il teorema

Siano p 1 {\displaystyle p_{1}} , p 2 {\displaystyle p_{2}} , q 1 {\displaystyle q_{1}} e q 2 {\displaystyle q_{2}} funzioni continue a valori reali definite nell'intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , e siano:

( p 1 ( x ) y ′ ) ′ + q 1 ( x ) y = 0 {\displaystyle (p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0}
( p 2 ( x ) y ′ ) ′ + q 2 ( x ) y = 0 {\displaystyle (p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0}

due equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta con:

0 < p 2 ( x ) ≤ p 1 ( x ) q 1 ( x ) ≤ q 2 ( x ) {\displaystyle 0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)\qquad q_{1}(x)\leq q_{2}(x)}

Sia u {\displaystyle u} una soluzione non-banale della prima equazione avente due radici successive in z 1 {\displaystyle z_{1}} e z 2 {\displaystyle z_{2}} . Sia, inoltre, v {\displaystyle v} una soluzione non-banale della seconda. Allora vale una delle seguenti proprietà:

  • Esiste x ∈ [ z 1 , z 2 ] {\displaystyle x\in [z_{1},z_{2}]} tale che v ( x ) = 0 {\displaystyle v(x)=0}
  • Esiste λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } tale che v ( x ) = λ u ( x ) {\displaystyle v(x)=\lambda u(x)} .

La prima parte della tesi venne dimostrata da Sturm, nel 1836[1]. L'enunciato completo è dovuto a Picone (1910)[2][3], la cui semplice dimostrazione si basa sull'utilizzo dell'identità di Picone. Nel caso particolare in cui le due equazioni siano identiche si ottiene il teorema di separazione di Sturm. Il teorema è stato poi esteso a sistemi di equazioni ordinarie e a equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico.

Note

  1. ^ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
  2. ^ Mauro Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare del secondo ordine, in Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 11, 1910, pp. 1–141.
  3. ^ DOI: 10.1007/3-7643-7359-8_1

Bibliografia

  • (EN) Diaz, J. B.; McLaughlin, Joyce R. Sturm comparison theorems for ordinary and partial differential equations. Bull. Amer. Math. Soc. 75 1969 335–339 pdf
  • (EN) Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 79, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
  • (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, 2011.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Boris Belinskiy, John R. Graef, Sonja Petrovic - A Nonlinear Sturm–Picone Comparison Theorem for Dynamic Equations on Time Scales (PDF), su ripublication.com.
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