Spazio lenticolare

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In matematica, uno spazio lenticolare è una particolare varietà ellittica. Si tratta di una 3-varietà avente una struttura di varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque pari a +1. Uno spazio lenticolare è indicato con

L ( p , q ) {\displaystyle L(p,q)}

e dipende da una coppia di interi coprimi ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} . Gli spazi lenticolari sono 3-varietà particolarmente semplici, il cui gruppo fondamentale è un gruppo ciclico finito.

Definizione

Sia S 3 {\displaystyle S^{3}} l'ipersfera in R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} . Identificando R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} con C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} , questa può essere definita come

S 3 = { ( z , w ) C 2   |   | z | 2 + | w | 2 = 1 } . {\displaystyle S^{3}={\big \{}(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}\ {\big |}\ |z|^{2}+|w|^{2}=1{\big \}}.}

Sia ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} una coppia di interi coprimi, con p > 0 {\displaystyle p>0} . Sia ω {\displaystyle \omega } la radice dell'unità

ω = e 2 π i / p . {\displaystyle \omega =e^{2\pi i/p}.\,\!}

Anche l'elemento ω q {\displaystyle \omega ^{q}} è una radice primitiva p {\displaystyle p} -esima dell'unità. Si consideri l'applicazione lineare

f : C 2 C 2 {\displaystyle f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}}
f ( z , w ) = ( ω z , ω q w ) . {\displaystyle f(z,w)=(\omega z,\omega ^{q}w).}

La mappa f {\displaystyle f} è un isomorfismo lineare su C {\displaystyle \mathbb {C} } . Poiché | ω | = | ω q | = 1 {\displaystyle |\omega |=|\omega ^{q}|=1} , la f {\displaystyle f} preserva la norma dei vettori e quindi manda S 3 {\displaystyle S^{3}} in sé. Letta su R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} , è rappresentata da una matrice ortogonale 4 × 4 {\displaystyle 4\times 4} . Si tratta quindi di una isometria di R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} : in particolare, preserva S 3 {\displaystyle S^{3}} e si restringe ad una isometria di S 3 {\displaystyle S^{3}}

f : S 3 S 3 . {\displaystyle f:S^{3}\to S^{3}.}

L'isometria f {\displaystyle f} genera un gruppo di isometrie

{ f , f 2 , , f p = i d } {\displaystyle \{f,f^{2},\ldots ,f^{p}={\rm {id}}\}\,\!}

isomorfo al gruppo ciclico di ordine p {\displaystyle p} . Lo spazio lenticolare è lo spazio quoziente rispetto a questo gruppo di isometrie.

Proprietà

Varietà ellittica

Il gruppo di isometrie generato da f {\displaystyle f} agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il quoziente è quindi una varietà topologica compatta e la proiezione

p : S 3 L ( p , q ) {\displaystyle p:S^{3}\to L(p,q)\,\!}

è un rivestimento. Si tratta del rivestimento universale, poiché S 3 {\displaystyle S^{3}} è semplicemente connessa.

Poiché la f {\displaystyle f} è una isometria, il quoziente L ( p , q ) {\displaystyle L(p,q)} eredita una struttura di varietà riemanniana. Come S 3 {\displaystyle S^{3}} , questa ha curvatura sezionale ovunque pari a +1 ed è quindi un esempio di varietà ellittica.

Gruppo fondamentale

Il gruppo fondamentale di L ( p , q ) {\displaystyle L(p,q)} è isomorfo al gruppo ciclico Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /_{p\mathbb {Z} }} .

Dipendenza dai parametri

Gli spazi L ( p , q ) {\displaystyle L(p,q)} e L ( p , q ) {\displaystyle L(p',q')} :

  • hanno lo stesso gruppo fondamentale se e solo se p = p {\displaystyle p=p'} ;
  • sono isometrici se e solo se sono omeomorfi, e questo accade se e solo se p = p {\displaystyle p=p'} e
    q 1 ± q 2 ± 1 ( mod p ) ; {\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}};}
  • sono omotopicamente equivalenti se e solo se p = p {\displaystyle p=p'} e
    q 1 q 2 ± n 2 ( mod p ) . {\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}.}

Per quanto scritto, solitamente si suppone p > q > 0 {\displaystyle p>q>0} .

Tra gli spazi lenticolari vi sono quindi esempi di 3-varietà con lo stesso gruppo fondamentale ma non omotopicamente equivalenti, ad esempio

L ( 5 , 1 ) , L ( 5 , 2 ) {\displaystyle L(5,1),\quad L(5,2)}

e varietà omotopicamente equivalenti ma non omeomorfe, ad esempio

L ( 7 , 1 ) , L ( 7 , 2 ) . {\displaystyle L(7,1),\quad L(7,2).}

Per p = 2 {\displaystyle p=2} si ottiene soltanto la varietà L ( 2 , 1 ) {\displaystyle L(2,1)} ; in questo caso la funzione f {\displaystyle f} è la mappa antipodale e quindi il quoziente L ( 2 , 1 ) {\displaystyle L(2,1)} è lo spazio proiettivo reale

L ( 2 , 1 ) = R P 3 . {\displaystyle L(2,1)=\mathbb {R} \mathbb {P} ^{3}.}

Geometrizzazione

Uno spazio lenticolare è sempre una 3-varietà irriducibile e prima.

Per la congettura di geometrizzazione di Thurston, dimostrata da Grigori Perelman, una 3-varietà compatta avente gruppo fondamentale ciclico finito è necessariamente uno spazio lenticolare.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Spazio lenticolare, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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