Proiezione stereografica

In geometria e in cartografia per proiezione stereografica si intende la proiezione dei punti sulla superficie di una sfera da un punto N della sfera stessa (che spesso viene chiamato polo Nord della sfera) sopra un piano che è, solitamente, o il piano equatoriale, o il tangente alla sfera nel suo punto (antipodale ad N) chiamato S, polo Sud.

Questa proiezione determina una corrispondenza biunivoca tra i punti della sfera privata di N e i punti del piano. Questa può estendersi ad una corrispondenza biunivoca tra punti della sfera e i punti del piano ampliato con un punto all'infinito: basta far corrispondere a questo il polo Nord.

Questa proiezione associa alle circonferenze ottenute intersecando la sfera con piani paralleli a quello tangente in S delle circonferenze del piano aventi centro in S. Unico punto fisso della proiezione è S, punto limite delle circonferenze precedenti.

In cartografia una proiezione stereografica della Terra è detta polare, equatoriale o obliqua in funzione della scelta del punto di proiezione (un polo, un punto sull'equatore, o altrove).

Definizione

La sfera unitaria nello spazio tridimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ è l'insieme dei punti ${\displaystyle (x,y,z)}$ tali che ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$. Sia ${\displaystyle N=(0,0,1)}$ il "polo nord", e sia ${\displaystyle M}$ il resto della sfera. Il piano ${\displaystyle z=0}$ passa per il centro della sfera; "l'equatore" è l'intersezione della sfera con questo piano.

Per ogni punto ${\displaystyle P}$ su ${\displaystyle M}$, esiste un'unica retta passante per ${\displaystyle N}$ e ${\displaystyle P}$, e questa retta interseca il piano ${\displaystyle z=0}$ in un unico punto ${\displaystyle P'}$. Si dice proiezione stereografica di ${\displaystyle P}$ questo punto ${\displaystyle P'}$ nel piano.

Esprimiamo la proiezione stereografica in formule esplicite. In coordinate cartesiane ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ sulla sfera e ${\displaystyle P'=(X,Y)}$ sul piano, la proiezione e la sua inversa sono date dalle formule

${\displaystyle (X,Y)=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),}$

${\displaystyle (x,y,z)=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).}$

Proprietà

Ipparco di Nicea mostrò che la proiezione stereografica è una proiezione conforme (mantiene gli angoli, cioè ha modulo di deformazione lineare costante e modulo di deformazione angolare nullo) e che l'immagine di una circonferenza può essere solo una retta o una circonferenza.^[1]

Note

Voci correlate

• Cartografia
• Proiezione cartografica
• Proiezione conforme
• Sfera di Riemann

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Stereographic Projection in MathWorld
• (EN) Dissemination of IT for the Promotion of Materials Science (DoITPoMS), "The stereographic projection", su doitpoms.ac.uk.
• Tutorial per realizzare una proiezione stereografica con Gimp, su mora-foto.it.

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