Proiezione conica equidistante

Carta tolemaica basata sulla proiezione conica equidistante

La proiezione conica equidistante è una proiezione cartografica di sviluppo conica elaborata sin dall'antichità classica, ed in effetti corrisponde alla prima proiezione proposta da Tolomeo.[1] La forma definitiva della proiezione fu raggiunta dal cartografo francese Guillaume Delisle nel 1745[2].

La proiezione conica equidistante ha l'utile proprietà che le distanze lungo i meridiani sono conservate in proporzione. Anche le distanze lungo i due paralleli "standard" scelti dal cartografo per costruire la carta, sono conservate in modo proporzionale ed i due paralleli sono privi di distorsioni.

Questa proiezione è spesso utilizzata per rappresentare aree geografiche allungate in senso est-ovest, e i paralleli "standard" sono scelti a un sesto dal margine meridionale e a un sesto dal margine settentrionale dell'area da rappresentare. In questo modo la distorsione è minimizzata nella regione che interessa.

Formule

Il mondo rappresentato con la proiezione conica equidistante. Sono stati scelti come paralleli "standard" il 20°N e il 60°N

In questa proiezione si stabilisce un punto "assiale" sulla superficie della sfera, corrispondente alla direzione dell'asse del cono. Nella descrizione che segue ci si riferisce alla Terra e il punto "assiale" è il Polo Nord, tuttavia mutatis mutandis il discorso vale anche per un'altra sfera e/o per un altro punto "assiale".

Con:

  • r la distanza sulla carta dal centro dell'arco di cerchio
  • R il raggio terrestre
  • α l'angolo inscritto espresso in radianti che insiste sull'arco che va da un punto sulla Terra al punto "assiale", cioè la distanza sulla Terra divisa per R (quando il Polo Nord viene scelto come punto "assiale", indicando con β {\displaystyle \beta \,} la latitudine espressa in radianti, vale: α = π 2 − β {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}-\beta } ).
  • s la scala lungo il raggio[3], che è allo stesso tempo la scala lungo i paralleli standard.
  • n il numero di gradi sessagesimali (generalmente compreso fra 0 e 1) in cui viene raffigurato sulla carta un grado di longitudine sferica; l'intera carta sarà costituita perciò da un settore circolare di 360 n gradi
  • r 0 {\displaystyle r_{0}} il raggio sulla carta dell'arco di cerchio che rappresenta il Polo Nord:
n = sin ⁡ α 1 − sin ⁡ α 2 α 1 − α 2 {\displaystyle n={\frac {\sin \alpha _{1}-\sin \alpha _{2}}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}}
r 0 = R s ( sin ⁡ α 1 n − α 1 ) = R s ( sin ⁡ α 2 n − α 2 ) = R s α 1 sin ⁡ α 2 − α 2 sin ⁡ α 1 α 1 − α 2 {\displaystyle r_{0}=Rs({\frac {\sin \alpha _{1}}{n}}-\alpha _{1})=Rs({\frac {\sin \alpha _{2}}{n}}-\alpha _{2})=Rs{\frac {\alpha _{1}\sin \alpha _{2}-\alpha _{2}\sin \alpha _{1}}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}}
r = r 0 + R s α {\displaystyle r=r_{0}+Rs\alpha }

Il raggio dell'arco di cerchio sulla carta che rappresenta il Polo Sud è quindi:

r = r 0 + π R s {\displaystyle r=r_{0}+\pi Rs}

Casi limite

Quando entrambi i paralleli "standard" coincidono con il Polo Nord abbiamo la proiezione azimutale equidistante. Al limite abbiamo n = 1 e r 0 = 0 {\displaystyle r_{0}=0} .

Quando i paralleli "standard" abbiano lo stesso grado di latitudine, ma uno Nord e l'altro Sud, abbiamo la proiezione cilindrica equidistante al limite perciò n va a 0 e r 0 {\displaystyle r_{0}} a infinito, e abbiamo y come coordinata parallela all'asse del cilindro:

y = R s β {\displaystyle y=Rs\beta }

Note

  1. ^ John P. Snyder, Flattening the Earth: 2000 Years of Map Projections, University of Chicago Press, 1993, p. 11, ISBN 0-226-76746-9.
  2. ^ Rankin Bill, Radical cartography, 2006 Projection reference
  3. ^ La scala 1:1000 può per esempio essere espressa anche con il numero 0,001.

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Collegamenti esterni

  • http://mathworld.wolfram.com/ConicEquidistantProjection.html