Operatore bilineare

In matematica, un operatore bilineare è una generalizzazione della moltiplicazione che soddisfa la legge distributiva.

Siano ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$ e ${\displaystyle X}$ tre spazi vettoriali sullo stesso campo ${\displaystyle F}$; un operatore bilineare è una funzione:

${\displaystyle B:V\times W\rightarrow X}$

tale che per ogni ${\displaystyle w\in W}$ la mappa:

${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$

è un operatore lineare da ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle X}$, e per ogni ${\displaystyle v\in V}$ la mappa:

${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$

è un operatore lineare da ${\displaystyle W}$ a ${\displaystyle X}$. In altre parole, se si tiene il primo argomento dell'operatore bilineare fisso, mentre si fa variare il secondo argomento, si ottiene un operatore lineare, e la stessa cosa vale se si tiene fisso il secondo argomento.

Se ${\displaystyle V=W}$ e si ha ${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)}$ per ogni ${\displaystyle v,w\in V}$, allora ${\displaystyle B}$ è simmetrico.

Nel caso in cui ${\displaystyle X=F}$, si ha una forma bilineare, e questo caso è particolarmente utile nello studio, per esempio, del prodotto scalare e delle forme quadratiche.

La definizione funziona senza altri cambiamenti se al posto di spazi vettoriali si usano moduli su un anello commutativo ${\displaystyle R}$. È inoltre semplice generalizzare questo concetto a una funzione in ${\displaystyle n}$ variabili, e il termine appropriato è multilineare.

Nel caso di un anello non commutativo ${\displaystyle R}$, un modulo destro ${\displaystyle M_{R}}$ e un modulo sinistro ${\displaystyle _{R}N}$, possiamo definire un operatore bilineare ${\displaystyle B:M\times N\rightarrow T}$, ove ${\displaystyle T}$ è un gruppo abeliano, tale che per ogni ${\displaystyle n\in N}$, ${\displaystyle m\mapsto B(m,n)}$, e per ogni ${\displaystyle m\in M}$, ${\displaystyle n\mapsto B(m,n)}$ sono omomorfismi di gruppi, e che inoltre soddisfa:

${\displaystyle B(mt,n)=B(m,tn)}$

per ogni ${\displaystyle m\in M,n\in N,t\in R}$.

Una prima immediata conseguenza della definizione è il fatto che ${\displaystyle B(x,y)=\mathbf {0} }$ ogni volta che ${\displaystyle x=\mathbf {0} }$ o ${\displaystyle y=\mathbf {0} }$. Ciò si prova scrivendo il vettore nullo ${\displaystyle \mathbf {0} }$ come ${\displaystyle 0\cdot \mathbf {0} }$ e spostando lo scalare ${\displaystyle 0}$ "al di fuori", davanti a ${\displaystyle B}$, per linearità.

L'insieme ${\displaystyle L(V,W;X)}$ di tutte le mappe bilineari è un sottospazio lineare dello spazio (spazio vettoriale, modulo) di tutte le mappe da ${\displaystyle V\times W}$ in ${\displaystyle X}$.

Se ${\displaystyle V,W,X}$ sono di dimensione finita, allora lo è anche ${\displaystyle L(V,W;X)}$. Se ${\displaystyle X=F}$, (per es. nel caso di una forma bilineare) la dimensione di questo spazio è ${\displaystyle \dim V\cdot \dim W}$ (mentre lo spazio ${\displaystyle L(V\times W;K)}$ di forme lineari ha dimensione ${\displaystyle \dim V+\dim W}$). Per provarlo, si scelgano una base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ per ${\displaystyle V}$ e una base ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ per ${\displaystyle W}$; a questo punto ogni mappa bilineare può essere univocamente rappresentata dalla matrice ${\displaystyle A}$ data da ${\displaystyle a_{ij}=B(b_{i},c_{j})}$, e viceversa (qui ${\displaystyle b_{i}}$ e ${\displaystyle c_{j}}$ denotano rispettivamente l'${\displaystyle i}$-esimo elemento della base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ e il ${\displaystyle j}$-esimo elemento della base ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$).

Se ${\displaystyle X}$ è uno spazio di dimensione superiore, si ha banalmente ${\displaystyle \dim L(V,W;X)=\dim V\cdot \dim W\cdot \dim X}$.

• La moltiplicazione di matrici è una mappa bilineare ${\displaystyle M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)}$.
• Se in uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ sul campo dei numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definito un prodotto scalare, allora il prodotto scalare è un operatore bilineare ${\displaystyle V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$.
• In generale, per uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ su un campo ${\displaystyle F}$, una forma bilineare su ${\displaystyle V}$ è equivalente a un operatore bilineare ${\displaystyle V\times V\rightarrow F}$.
• Se ${\displaystyle V}$ è uno spazio vettoriale, ${\displaystyle V^{*}}$ è il suo spazio duale e ${\displaystyle v\in V,f\in V^{*}}$, allora l'operatore di applicazioni ${\displaystyle b(f,v)=f(v)}$ è un operatore bilineare da ${\displaystyle V\times W}$ nel campo di base.
• Siano ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ due spazi vettoriali sullo stesso campo ${\displaystyle F}$. Se ${\displaystyle f}$ è un elemento di ${\displaystyle V^{*}}$ e ${\displaystyle g}$ è un elemento di ${\displaystyle W^{*}}$, allora ${\displaystyle b(v,w)=f(v)g(w)}$ definisce un operatore bilineare ${\displaystyle V\times W\rightarrow F}$.
• Il prodotto vettoriale in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ è un operatore bilineare ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$.
• Siano ${\displaystyle B:V\times W\rightarrow X}$ un operatore bilineare e ${\displaystyle L:U\rightarrow W}$ un operatore lineare; allora ${\displaystyle (v,u)\mapsto B(v,L(u))}$ è un operatore bilineare su ${\displaystyle V\times U}$.
• La mappa nulla, definita da ${\displaystyle B(v,w)=\mathbf {0} }$ per ogni ${\displaystyle (v,w)\in V\times W}$ è l'unica mappa da ${\displaystyle V\times W}$ in ${\displaystyle X}$ che sia nel contempo bilineare e lineare. Infatti, se ${\displaystyle (v,w)\in V\times W}$ e ${\displaystyle B}$ è una mappa sia lineare che bilineare, allora ${\displaystyle B(v,w)=B(v,\mathbf {0} )+B(\mathbf {0} ,w)}$ (per linearità rispetto alla somma di ${\displaystyle V\times W}$) e ${\displaystyle B(v,\mathbf {0} )+B(\mathbf {0} ,w)=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }$ (per bilinearità).

• (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Algebra: Algebraic structures. Linear algebra , 1 , Addison-Wesley (1974) pp. Chapt.1;2
• (EN) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley (1974)

• Forma bilineare
• Forma quadratica
• Forma sesquilineare
• Mappa multilineare
• Prodotto scalare
• Tensore

• (EN) V.L. Popov, Bilinear mapping, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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