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La notazione a frecce di Knuth è un tipo di notazione numerica, creata dall'informatico Donald Knuth per scrivere numeri molto grandi che nelle normale notazioni a cifre o esponenziale sarebbero impossibili da scrivere, come il numero di Graham.
Definizione
La sequenza di iperoperazione è una sequenza di operazioni binarie
, definita ricorsivamente come segue:
![{\displaystyle H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&{\text{se }}n=0\\a&{\text{se }}n=1,b=0\\0&{\text{se }}n=2,b=0\\1&{\text{se }}n\geq 3,b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{altrimenti}}\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbb21aa457e33f2cca8d33dc356cc154da31124)
(Notare che n = 0, l'operazione binaria essenzialmente si riduce a un'operazione unaria (funzione successiva) ignorando il primo argomento.)
Per n = 0, 1, 2, 3, questa definizione riproduce le operazioni di base dell'aritmetica della funzione successiva (che è un'operazione unaria), addizione, moltiplicazione e esponenziazione, come:
![{\displaystyle H_{0}(a,b)=b+1\,\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85fc843eef0a6e07ada1b7862b4e2b3525e83648)
![{\displaystyle H_{1}(a,b)=a+b\,\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a064e5a60b6ff6ccb93ebd20fc41f477e4dc4e8)
![{\displaystyle H_{2}(a,b)=a\cdot b\,\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91aaba41fc705ad3cee2171024ece5cf32afbbe)
![{\displaystyle H_{3}(a,b)=a^{b}\,\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91bb7b885319919e9ead0fe0f9e43ceb7c7824c3)
e per n ≥ 4 estende queste operazioni di base oltre l'esponenziazione in quella che può essere scritta in notazione a frecce di Knuth come
![{\displaystyle H_{4}(a,b)=a\uparrow \uparrow {b}\,\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94169d60cafb2f04c0ff263262a1cd3adec5cce8)
![{\displaystyle H_{5}(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow {b}\,\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec92e192aeff635fe77772f50e247a9e816fc644)
- ...
![{\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ per }}n\geq 3\,\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1ab83f020b3013117eb129b439f0c34298e741)
- ...
Descrizione
Questa notazione si compone di un numero iniziale, seguito da un dato numero di frecce verso l'alto, seguita infine da un numero finale.
Il significato delle frecce è il seguente:
- una singola freccia verso l'alto rappresenta un elevamento a potenza;
- una doppia freccia verso l'alto (
) rappresenta una tetrazione, ovvero una potenza ricorsiva; - tre frecce (
) rappresentano una tetrazione ricorsiva; - ogni successiva freccia incrementa la profondità di iterazione.
Il risultato è un aumento numerico estremamente elevato per ogni freccia aggiunta.
In termini numerici:
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f16d8856ccb0f745f43e2ac18ee4abae560dfd6)
volte
e via dicendo.
Esempi
n | Operazione (Hn(a, b)) | Definizione | Nomi | Dominio |
0 | | | iper0, incremento, funzione successiva, | arbitrario |
1 | | | iper1, addizione | arbitrario |
2 | | | iper2, moltiplicazione | arbitrario |
3 | o | | iper3, esponenziazione | b reale, con alcune estensioni multivalore nei numeri complessi |
4 | or | | iper4, tetrazione | a ≥ 0 o un intero, b un intero ≥ −1[1] (con alcune estensioni proposte) |
5 | o | | iper5, pentazione | a, b interi ≥ −1[1] |
6 | or | | iper6, esazione | a, b interi ≥ −1[1] |
Note
- ^ a b c Sia x = a[n](-1). Dalla formula ricorsiva, a[n]0 = a[n-1](a[n](-1)) => 1 = a[n-1]x. Una soluzione è x = 0, perché a[n-1]0 = 1 da definizione quando n ≥ 4. Questa soluzione è unica, perché a[n-1]b > 1 per ogni a > 1, b > 0 (prova da ricorsione).
Voci correlate
- Elevamento a potenza
- Tetrazione
- Numero di Graham
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Notazione a frecce di Knuth, su MathWorld, Wolfram Research.
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