Momento statico

Il momento statico (detto anche momento di primo ordine o meno propriamente primo momento d'inerzia) è una proprietà geometrica di un oggetto.

Come avviene per il momento d'inerzia, essa può essere definita rispetto ad una massa, o più frequentemente, soprattutto nella scienza delle costruzioni, relativamente ad un'area piana.

Questa proprietà rappresenta la distribuzione della massa, o della forma dell'area, presa in considerazione in relazione ad un certo asse.

Il momento statico è spesso indicato come S ∗ {\displaystyle S^{*}} , quando è definito rispetto alla massa, o con S r {\displaystyle S_{r}} , quando è definito rispetto all'area, dove r {\displaystyle r} è l'asse a cui è riferito.

Rappresentazione degli elementi utilizzati per calcolare un momento statico. L'area A, un suo infinitesimo dA, e le sue distanze dagli assi y e z

Definizione

Rispetto alla massa

Dato un corpo rigido di densità ρ {\displaystyle \rho } e volume V {\displaystyle V} e una retta qualunque r {\displaystyle r} , posta ad una distanza d r {\displaystyle \mathbf {d} _{r}} dal corpo, si ha che il momento statico del corpo rispetto ad r {\displaystyle r} è pari a:

S r ∗ = ∫ V ρ d r d V {\displaystyle S_{r}^{*}=\int _{V}\rho \,\mathbf {d} _{r}\,dV}

Rispetto all'area

Data un'area A {\displaystyle A} di forma qualunque e una retta qualunque r {\displaystyle r} , posta ad una distanza d r ( x , y ) {\displaystyle d_{r}(x,y)} da A {\displaystyle A} , si ha che il momento statico di A {\displaystyle A} rispetto ad r {\displaystyle r} è pari a:

S r = ∫ A d r ( x , y ) d A {\displaystyle S_{r}=\int _{A}d_{r}(x,y)\,dA}

Relazione con il baricentro

Esiste uno stretto legame tra il momento statico e il baricentro G {\displaystyle G} , infatti, conoscendo il momento statico e la massa, o area, del corpo in questione, si possono trovare le coordinate del baricentro e viceversa:

r G = S r ∗ m {\displaystyle \mathbf {r} _{G}={\frac {S_{r}^{*}}{m}}} oppure r G = S r A {\displaystyle \mathbf {r} _{G}={\frac {S_{r}}{A}}} , dove r G {\displaystyle \mathbf {r} _{G}} è il vettore posizione di G {\displaystyle G}

Utilizzo in meccanica

Sforzo di taglio

Lo stesso argomento in dettaglio: Sforzo di taglio.

È comodo considerare il momento statico, prevalentemente riferito alla superficie, in meccanica, in particolare nelle equazioni riferite allo sforzo di taglio applicato ad una trave tridimensionale. La sezione ove è applicata l'azione tagliante è soggetta ad uno scorrimento trasversale, con la generazione di tensioni tangenziali,

secondo la formula di Jourawski:

τ = T S ( y ) J b {\displaystyle \tau ={\frac {TS(y)}{Jb}}}
  • T {\displaystyle T} è l'azione tagliante
  • S {\displaystyle S} momento statico della sezione resistente, ovvero della porzione di sezione compresa tra lo sforzo e la dividente normale ad esso nel punto dove si calcola la tensione.
  • J {\displaystyle J} momento di inerzia della sezione
  • b {\displaystyle b} larghezza media della sezione

Bibliografia

  • Stefano Lenci, Lezioni di Meccanica Strutturale, Bologna, Pitagora Editrice, 2009.
  • Andrea Bernasconi, Mauro Filippini, Marco Giglio, Fondamenti di costruzione di macchine, Milano, McGraw-Hill, 2006.

Voci correlate

  • Momento d'inerzia

Collegamenti esterni

  • Lezione universitaria sul momento statico, uniroma3.it (PDF), su host.uniroma3.it. URL consultato il 26 novembre 2011 (archiviato dall'url originale il 13 agosto 2012).
  • Lezione scolastica dedicata al momento statico, Istituto Superiore Miraglia, isislauria.it (PDF), su isislauria.it. URL consultato il 26 novembre 2011 (archiviato dall'url originale il 5 gennaio 2012).