Moltiplicazione complessa

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In matematica la moltiplicazione complessa (spesso abbreviato con CM, cioè Complex Multiplication) è la teoria delle curve ellittiche che hanno anello degli endomorfismi strettamente più grande di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ed è anche la teoria delle varietà abeliane che hanno abbastanza endomorfismi in un senso più specifico (informalmente se l'azione dello spazio tangente sull'elemento identità della varietà abeliana è una somma diretta di moduli di dimensione uno).

La moltiplicazione complessa è un tema centrale in teoria algebrica dei numeri poiché permette ad alcune caratteristiche della teoria dei campi ciclotomici di essere riportate a una più ampia area di applicazione.

David Hilbert ha detto di aver osservato che la teoria della moltiplicazione complessa delle curve ellittiche non è solo una delle parti più belle della matematica, ma di tutta la scienza.

L'anello degli endomorfismi di una curva ellittica può essere isomorfo solamente a una delle seguenti tre strutture algebriche: l'anello degli interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, un ordine di un campo quadratico immaginario, un ordine in un'algebra di quaternioni su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$^[1]. Gli endomorfismi corrispondenti agli elementi di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sono spesso detti in questo contesto endomorfismi banali, in quanto li hanno tutte le curve ellittiche.

Se il campo su cui è definita la curva ellittica è un campo finito il primo caso non può accadere, quindi tale curva ha sempre moltiplicazione complessa, quindi tale nozione diventa poco significativa e spesso non si usa tale terminologia in questo contesto. I morfismi non banali provengono dall'endomorfismo di Frobenius.

Se il campo su cui è definita la curva ellittica ha caratteristica zero (per esempio ${\displaystyle \mathbb {C} }$ o ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ o un generico campo di numeri) allora l'ultimo caso non può accadere e quindi il fatto che una curva ellittica abbia CM è atipico e risulta spesso interessante. Poiché in caratteristica zero l'anello degli endomorfismi di una curva ellittica può essere solo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ o un ordine di un campo quadratico immaginario, se una curva ellittica ha CM vuol dire che ha endomorfismi corrispondenti ad alcuni numeri complessi, precisamente a quelli compresi in tale ordine, e da qui viene l'uso del termine moltiplicazione complessa.

Sia ${\displaystyle E}$ la curva ellittica definita su ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle E:y^{2}=x^{3}-x}$

allora l'anello degli endomorfismi di ${\displaystyle E}$ è isomorfo a l'anello degli interi di Gauss ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ dove l'endomorfismo ${\displaystyle [n]}$, con ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, è la somma di un punto con se stesso ${\displaystyle n}$ volte secondo la legge di gruppo della curva se ${\displaystyle n}$ è positivo e dell'opposto del punto se ${\displaystyle n}$ è negativo, e l'endomorfismo ${\displaystyle [i]}$ è definito da

${\displaystyle [i]:(x,y)\mapsto (-x,iy)}$

Quindi ${\displaystyle E}$ ha CM e ogni suo endomorfismo è della forma ${\displaystyle [m]+[n]\circ [i]}$, con ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ interi.

Il precedente esempio funziona se ${\displaystyle E}$ è definita su un qualunque campo ${\displaystyle K}$ con caratteristica diversa da ${\displaystyle 2}$, ma il morfismo ${\displaystyle [i]}$ è definito se e solo se ${\displaystyle i\in K}$, in caso contrario ${\displaystyle E}$ non ha CM.

• (EN) Borel, A.; Chowla, S.; Herz, C. S.; Iwasawa, K.; Serre, J.-P. Seminar on complex multiplication. Seminari tenuti all'Institute for Advanced Study, Princeton, N.J., 1957-58. Lecture Notes in Mathematics, No. 21 Springer-Verlag, Berlin-New York, 1966
• (EN) Dale H. Husemöller, Elliptic curves, Con un'appendice di Ruth Lawrence, Graduate Texts in Mathematics, vol. 111, Springer-Verlag, 1987, ISBN 0-387-96371-5, Zbl 0605.14032.
• (EN) Serge Lang, Complex multiplication, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 255, New York, Springer-Verlag, 1983, ISBN 0-387-90786-6, Zbl 0536.14029.
• (EN) J.-P. Serre, XIII. Complex multiplication, in J.W.S. Cassels e Albrecht Fröhlich (a cura di), Algebraic Number Theory, Academic Press, 1967, pp. 292–296.
• (EN) Goro Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publications of the Mathematical Society of Japan, vol. 11, Tokyo, Iwanami Shoten, 1971, Zbl 0221.10029.
• (EN) Goro Shimura, Abelian varieties with complex multiplication and modular functions, Princeton Mathematical Series, vol. 46, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-01656-9, Zbl 0908.11023.
• (EN) Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics, vol. 106, Springer-Verlag, 1986, ISBN 0-387-96203-4, Zbl 0585.14026.
• (EN) Joseph H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics, vol. 151, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-94328-5, Zbl 0911.14015.

• Curva ellittica
• Varietà abeliana

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