Modello autoregressivo

In statistica e in teoria dei segnali un modello autoregressivo indicato con ${\displaystyle AR,}$ o ${\displaystyle AR(p)}$ dove ${\displaystyle p}$ è l'ordine del modello, è la rappresentazione di un tipo di processo stocastico; come tale descrive alcuni processi che variano nel tempo come l'economia, ecc. Il modello autoregressivo è un modello lineare che specifica che la variabile in uscita dipende linearmente dai valori delle uscite precedenti. Si tratta di un caso particolare del modello ARMA più generale delle serie storiche.

Matematicamente si presenta così:

${\displaystyle z_{t}=\phi _{1}z_{t-1}+\phi _{2}z_{t-2}+\dots +\phi _{p}z_{t-p}+\varepsilon _{t}=\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}z_{t-i}+\varepsilon _{t},}$

dove i parametri ${\displaystyle {\phi _{1}}}$, ${\displaystyle {\phi _{2}},\ldots ,{\phi _{p}}}$ costituiscono i coefficienti della regressione lineare della variabile casuale ${\displaystyle z_{t}}$ rispetto ai suoi stessi valori passati, ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ è il processo di rumore bianco per cui il termine di errore.

In generale, lavorando con processi ${\displaystyle AR(p),}$ risulta conveniente utilizzare l'operatore backshift ${\displaystyle B,}$ denominato anche lag operator, che semplifica notevolmente determinate relazioni. Tale operatore si definisce come:

${\displaystyle Bz_{t}=z_{t-1}}$

e più in generale:

${\displaystyle B^{m}z_{t}=z_{t-m}.}$

Quindi:

${\displaystyle \varepsilon _{t}=z_{t}-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}z_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}B^{i}\right)z_{t}.}$

Se si considera una costante, ad esempio, la media ${\displaystyle \mu }$ si può dimostrare che:

${\displaystyle B^{m}\mu =\mu .}$

Per processo autoregressivo ${\displaystyle AR(1)}$, di ordine 1, si ha:

${\displaystyle \varepsilon _{t}=(1-{\phi }B)z_{t}}$

che, invertendo ed espandendo in serie, può essere scritto come:

${\displaystyle z_{t}=(1-{\phi }B)^{-1}\varepsilon _{t}=(1+{\phi }B+{\phi }^{2}B^{2}+\cdots )\varepsilon _{t}=\varepsilon _{t}+\phi \varepsilon _{t-1}+\phi ^{2}\varepsilon _{t-2}+\cdots .}$

Si dimostra facilmente che questa serie converge per ${\displaystyle {\phi }<1}$, che costituisce la condizione di stazionarietà.

Il processo ${\displaystyle AR(1)}$ ha quindi funzione di autocorrelazione ${\displaystyle \rho _{k}=\phi ^{k}}$ la quale tende a zero in modo monotono per ${\displaystyle \phi >0}$ e varia tra ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle 1}$ per ${\displaystyle \phi <0.}$

Modello ${\displaystyle AR(1),}$ dati relativi alla concentrazione di una soluzione chimica, George Box e Gwilym Jenkins (1976):

17,0 16,6 16,3 16,1 17,1 16,9 16,8 17,4 17,1 17,0 16,7 17,4 17,2 17,4
17,4 17,0 17,3 17,2 17,4 16,8 17,1 17,4 17,4 17,5 17,4 17,6 17,4 17,3
17,0 17,8 17,5 18,1 17,5 17,4 17,4 17,1 17,6 17,7 17,4 17,8 17,6 17,5
16,5 17,8 17,3 17,3 17,1 17,4 16,9 17,3 17,6 16,9 16,7 16,8 16,8 17,2
16,8 17,6 17,2 16,6 17,1 16,9 16,6 18,0 17,2 17,3 17,0 16,9 17,3 16,8
17,3 17,4 17,7 16,8 16,9 17,0 16,9 17,0 16,6 16,7 16,8 16,7 16,4 16,5
16,4 16,6 16,5 16,7 16,4 16,4 16,2 16,4 16,3 16,4 17,0 16,9 17,1 17,1
16,7 16,9 16,5 17,2 16,4 17,0 17,0 16,7 16,2 16,6 16,9 16,5 16,6 16,6
17,0 17,1 17,1 16,7 16,8 16,3 16,6 16,8 16,9 17,1 16,8 17,0 17,2 17,3
17,2 17,3 17,2 17,2 17,5 16,9 16,9 16,9 17,0 16,5 16,7 16,8 16,7 16,7
16,6 16,5 17,0 16,7 16,7 16,9 17,4 17,1 17,0 16,8 17,2 17,2 17,4 17,2
16,9 16,8 17,0 17,4 17,2 17,2 17,1 17,1 17,1 17,4 17,2 16,9 16,9 17,0
16,7 16,9 17,3 17,8 17,8 17,6 17,5 17,0 16,9 17,1 17,2 17,4 17,5 17,9
17,0 17,0 17,0 17,2 17,3 17,4 17,4 17,0 18,0 18,2 17,6 17,8 17,7 17,2
17,4

• G.E.P. Box e G.M. Jenkins, Time series analysis: Forecasting and control, San Francisco, Holden-Day, 1970
• S. Makridakis, S.C. Wheelwright e R.J. Hyndman, Forecasting: methodsand applications, New York, John Wiley & Sons, 1998
• A. Pankratz, Forecasting with univariate Box–Jenkins models: concepts and cases, New York, John Wiley & Sons, 1983
• Domenico Piccolo, Introduzione all'analisi delle serie storiche, Carocci, 1990.
• E Bee Dagum, Analisi delle serie storiche: modellistica, previsione e scomposizione, Springer, 2002.

• Algoritmo di Levinson-Durbin
• Schema di Yule
• Equazioni di Yule-Walker
• Modello a media mobile
• Modello autoregressivo a media mobile

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