Fattoriale crescente di base q

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In matematica, nel campo della combinatoria, si dice fattoriale crescente di base q nella x relativo a ∞ {\displaystyle \infty } la serie

( x ; q ) ∞ := ∏ k = 0 ∞ ( 1 − q k x ) , {\displaystyle (x;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{k}x),}

per le variabili complesse x e q; se si pongono problemi di convergenza chiediamo che sia |q|<1.

Si dice invece fattoriale crescente di base q nella x relativo al numero complesso n

( x ; q ) n := ( x ; q ) ∞ ( q n x ; q ) ∞ {\displaystyle (x;q)_{n}:={\frac {(x;q)_{\infty }}{(q^{n}x;q)_{\infty }}}}

Se n è un intero naturale

( x ; q ) n := ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − q k x ) = ( 1 − x ) ( 1 − x q ) ( 1 − x q 2 ) ⋯ ( 1 − x q n − 1 ) {\displaystyle (x;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-q^{k}x)=(1-x)(1-xq)(1-xq^{2})\cdots (1-xq^{n-1})}

Risulta quindi individuata una famiglia di successioni di polinomi nella x parametrizzata da q che inizia con i seguenti componenti:

( x ; q ) 0 = 1 {\displaystyle (x;q)_{0}=1}
( x ; q ) 1 = 1 − x {\displaystyle (x;q)_{1}=1-x}
( x ; q ) 2 = ( 1 − x ) ( 1 − q x ) = 1 − ( 1 + q ) x + q x 2 {\displaystyle (x;q)_{2}=(1-x)(1-qx)=1-(1+q)x+qx^{2}\qquad }
( x ; q ) 3 = ( 1 − x ) ( 1 − q x ) ( 1 − q 2 x ) = 1 − ( 1 + q + q 2 ) x + ( q + q 2 + q 3 ) x 2 − q 3 x 3 {\displaystyle \,(x;q)_{3}=(1-x)(1-qx)(1-q^{2}x)=1-(1+q+q^{2})x+(q+q^{2}+q^{3})x^{2}-q^{3}x^{3}\,}

Questi polinomi (formali) sono chiamati anche q-fattoriali crescenti, q-simboli di Pochhammer e simboli di Pochhammer di base q. Essi sono ampiamente utilizzati nelle formule esprimenti proprietà delle serie ipergeometriche di base q.

Notazione con argomenti multipli

Dato che le identità che coinvolgono i q-simboli di Pochhammer spesso contengono il prodotto di più simboli, convenzionalmente si scrive un prodotto come un unico simbolo con argomenti multipli:

( x 1 , x 2 , … , x m ; q ) n = ( x 1 ; q ) n ( x 2 ; q ) n … ( x m ; q ) n . {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m};q)_{n}=(x_{1};q)_{n}(x_{2};q)_{n}\ldots (x_{m};q)_{n}.}

Bibliografia

  • George Gasper, Mizan Rahman (1990): Basic hypergeometric series, Cambridge University Press, ISBN 0521350492
  • Roelof Koekoek e Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, sezione 0.2.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Fattoriale crescente di base q, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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