Equivalenza logica

Nella logica e nella matematica, due proposizioni ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ si dicono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello.^[1] L'equivalenza logica di ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ è a volte espressa come ${\displaystyle p\equiv q}$, ${\displaystyle p::q}$, ${\displaystyle {\textsf {E}}pq}$, o anche ${\displaystyle p\iff q}$, a seconda della notazione adottata. Tuttavia, questi simboli sono usati anche per l'equivalenza materiale, motivo per cui la corretta interpretazione dipende dal contesto: l'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale, sebbene i due concetti siano intrinsecamente correlati.

Nela logica esistono molteplici equivalenze enunciate come leggi o proprietà. Di seguito se ne riportano alcune.

Equivalenza	Nome
${\displaystyle p\wedge \top \equiv p}$ ${\displaystyle p\vee \bot \equiv p}$	Leggi di identità
${\displaystyle p\vee \top \equiv \top }$ ${\displaystyle p\wedge \bot \equiv \bot }$	Leggi di dominazione
${\displaystyle p\vee p\equiv p}$ ${\displaystyle p\wedge p\equiv p}$	Leggi di idempotenza o tautologia
${\displaystyle \neg (\neg p)\equiv p}$	Legge della doppia negazione
${\displaystyle p\vee q\equiv q\vee p}$ ${\displaystyle p\wedge q\equiv q\wedge p}$	Leggi commutative
${\displaystyle (p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)}$	Leggi associative
${\displaystyle p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)}$ ${\displaystyle p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)}$	Leggi distributive
${\displaystyle \neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q}$ ${\displaystyle \neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q}$	Leggi di De Morgan
${\displaystyle p\vee (p\wedge q)\equiv p}$ ${\displaystyle p\wedge (p\vee q)\equiv p}$	Leggi di assorbimento
${\displaystyle p\vee \neg p\equiv \top }$ ${\displaystyle p\wedge \neg p\equiv \bot }$	Leggi di negazione

1. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg p\vee q}$
2. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p}$
3. ${\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implies q}$
4. ${\displaystyle p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)}$
5. ${\displaystyle \neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q}$
6. ${\displaystyle (p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)}$
7. ${\displaystyle (p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)}$
8. ${\displaystyle (p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r}$
9. ${\displaystyle (p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r}$

1. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)}$
2. ${\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}$
3. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}$
4. ${\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q}$

Le seguenti affermazioni sono logicamente equivalenti:

1. Se Lisa è in Danimarca, allora è in Europa (una dichiarazione del tipo ${\displaystyle d\implies e}$),
2. Se Lisa non è in Europa, allora non è in Danimarca (una dichiarazione del tipo ${\displaystyle \neg e\implies \neg d}$).

Sintatticamente, la (1) e la (2) sono derivabili l'una dall'altra tramite le regole della contrapposizione e della doppia negazione. Semanticamente, la (1) e la (2) sono vere esattamente negli stessi modelli matematici (interpretazioni, valutazioni); vale a dire, quelli in cui o "Lisa è in Danimarca" è falsa o "Lisa è in Europa" è vera.

Si noti che in questo esempio si presuppone la logica classica. Alcune logiche non classiche non considerano la (1) e la (2) logicamente equivalenti.

L'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale. Le formule ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ sono logicamente equivalenti se e solo se l'affermazione della loro equivalenza materiale (${\displaystyle p\iff q}$) è una tautologia.^[2]

L'equivalenza materiale di ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ (spesso scritta come ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$) è esso stesso un'altra istruzione nello stesso linguaggio oggetto di ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$.

Questa affermazione esprime l'idea che ${\displaystyle p}$ e se e solo se ${\displaystyle q}$. In particolare, il valore di verità di ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ può cambiare da un modello all'altro.

D'altra parte, l'affermazione che due formule sono logicamente equivalenti è un'affermazione nel metalinguaggio, che esprime una relazione tra le due affermazioni ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ Le affermazioni sono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello.

• (EN) logical equivalence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Equivalenza logica, su MathWorld, Wolfram Research.

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