Diottro

Il diottro è il più semplice sistema ottico. È costituito da una superficie di contatto che separa due mezzi ottici diversamente rifrangenti, trasparenti e con diverso indice di rifrazione; se la superficie di separazione tra i due mezzi è una porzione di sfera, il diottro si dice sferico.

In approssimazione parassiale, quindi per angoli di incidenza piccoli, si può ricavare che la legge dei punti coniugati di un diottro è

{\frac {n_{1}}{p}}+{\frac {n_{2}}{q}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}

dove $R$ indica il raggio di curvatura della superficie. Infatti, facendo riferimento alla figura a lato (il fatto che il diottro sia convesso o concavo non cambia il risultato), dove $n_{1}<n_{2}$ , è possibile scrivere le seguenti relazioni geometriche: $\alpha +\omega +(\pi -\vartheta _{1})=\pi$ e $\beta +\vartheta _{2}+(\pi -\omega )=\pi$ . Inoltre, siccome per ipotesi iniziale $\vartheta \sim \sin {\vartheta }\sim \tan {\vartheta }$ , la legge di Snell può essere riscritta come $n_{1}\vartheta _{1}=n_{2}\vartheta _{2}$ , che unita a quelle precedentemente ricavate fornisce $n_{1}\alpha +n_{2}\beta =(n_{2}-n_{1})\omega$ . Infine, poiché l'approssimazione parassiale coinvolge anche gli angoli $\alpha ={\frac {l}{p}}$ , $\beta ={\frac {l}{q}}$ e $\omega ={\frac {l}{R}}$ , si ottiene la legge scritta sopra.

Dato un sistema ottico, la conoscenza di pochi punti, detti punti principali, permette di costruire l'immagine di un qualsiasi oggetto. Per il diottro i punti principali sono il centro $C$ di curvatura della superficie ed i fuochi del diottro:

Il centro di curvatura $C$ ha la proprietà che qualsiasi raggio di luce proveniente dallo spazio oggetto e passante per $C$ non subisce deviazioni nell'attraversare la calotta sferica.
Il secondo fuoco $F_{2}$ del diottro è il punto in cui convergono tutti i raggi luminosi provenienti dallo spazio oggetto parallelamente all'asse ottico; il secondo fuoco è quindi l'immagine di un punto posto all'infinito ( $p\rightarrow +\infty$ ). La distanza $f_{2}$ (con relativo segno) di tale punto dal vertice $V$ del diottro è data ponendo
$f_{2}=q={\frac {n_{2}}{n_{2}-n_{1}}}R$
il primo fuoco $F_{1}$ è invece il punto sull'asse ottico nello spazio oggetto la cui immagine è il punto posto all'infinito ( $q\rightarrow +\infty$ ):
$f_{1}=p={\frac {n_{1}}{n_{2}-n_{1}}}R$

È da osservare che le distanze focali $f_{1}$ e $f_{2}$ di un diottro hanno sempre lo stesso segno, uguale od opposto a quello del raggio di curvatura a seconda del segno di $n_{2}-n_{1}$ . Moltiplicando ambo i membri della legge dei punti coniugati per ${\frac {R}{n_{2}-n_{1}}}$ , essa può essere riscritta in modo che compaiano le distanze focali:

{\frac {f_{1}}{p}}+{\frac {f_{2}}{q}}=1

Altre formule utili che legano le grandezze in gioco sono ${\frac {f_{1}}{f_{2}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}$ ed $f_{2}-f_{1}=R$ .

Tramite considerazioni geometriche simili a quelle fatte in precedenza si ricava l'ingrandimento lineare trasversale del diottro:

I={\frac {y'}{y}}={\frac {q-R}{p+R}}={\frac {n_{1}q}{n_{2}p}}

Il termine ${\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}$ al secondo membro dell'uguaglianza iniziale è anche detto potere convergente del diottro: se è positivo il diottro è detto convergente, mentre se è negativo il diottro è detto divergente.

Bibliografia

(EN) R. A. Herman A treatise on geometrical optics (Cambridge University Press, 1900)
(EN) E. T. Whittaker The theory of optical instruments (Cambridge University Press, 1907)
(EN) J. L. Synge Geometrical Optics: An Introduction To Hamilton's Method (Cambridge University Press, 1937)
(EN) Bruno Rossi, Optics, Addison-Wesley Educational Publishers Inc, 1957, ISBN 978-02-01065-30-5.