Anello dei polinomi

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In algebra astratta, l'anello dei polinomi costruiti a partire da un certo anello ${\displaystyle A}$ è una struttura algebrica contenente tutte le espressioni polinomiali a coefficienti in ${\displaystyle A}$.

Se ${\displaystyle A[X]}$ è un dominio d'integrità, il suo campo dei quozienti è dato dall'insieme delle funzioni razionali a coefficienti nel campo dei quozienti di ${\displaystyle A}$.

Se ${\displaystyle A}$ è un anello, si definisce come anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in ${\displaystyle A}$ l'insieme

${\displaystyle A^{(\mathbb {N} )}=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }:a_{n}\in A,a_{n}=0{\mbox{ per quasi tutti gli n}}\}}$,

cioè l'insieme delle successioni a valori in ${\displaystyle A}$ definitivamente nulle. Tale insieme assume la struttura di anello se munito delle seguenti operazioni di somma e prodotto:

${\displaystyle (a_{n})_{n}+(b_{n})_{n}:=(a_{n}+b_{n})_{n}}$

${\displaystyle (a_{n})_{n}\times (b_{n})_{n}:=(c_{n})_{n},\ c_{n}=\sum _{p+q=n}(a_{p}\cdot b_{q})}$

La seconda operazione è esattamente il prodotto di Cauchy delle due successioni. Tale anello si denota in maniera standard con ${\displaystyle A[X]}$ e i suoi elementi possono essere rappresentati come

${\displaystyle p=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}$,

dove ${\displaystyle X}$ rappresenta un simbolo formale, che serve solo come "segnaposto" per indicare che il coefficiente ${\displaystyle a_{m}}$ è l'${\displaystyle m}$-esimo elemento della successione.

Si può definire l'anello dei polinomi in due variabili a coefficienti nell'anello ${\displaystyle A}$ induttivamente: essendo ${\displaystyle A[X]}$ esso stesso un anello, lo si può prendere come l'anello di provenienza dei coefficienti e definire dunque

${\displaystyle A[X,Y]:=(A[X])[Y]}$

e, per ${\displaystyle n}$ variabili,

${\displaystyle A[X_{1},...,X_{n}]:=R[X_{n}],}$, con ${\displaystyle R=A[X_{1},...,X_{n-1}]}$.

Tale costruzione permette di allargare le proprietà che ${\displaystyle A[X]}$ ereditava da ${\displaystyle A}$ fino all'${\displaystyle n}$-esima variabile; ad esempio, se ${\displaystyle A}$ è un dominio, lo sarà anche ${\displaystyle A[X_{1},...,X_{n}]}$ e così via.

Gli anelli seguenti sono tutti isomorfi in modo naturale:

${\displaystyle A[X,Y]\cong (A[X])[Y]\cong A[Y,X]\cong (A[Y])[X]}$

Alcune proprietà dell'anello ${\displaystyle A}$ si trasferiscono all'anello dei polinomi ${\displaystyle A[X]}$, mentre altre no; le prime sono significative perché, per induzione, possono poi essere estese agli anelli di polinomi in qualunque numero di variabili. Un esempio è la presenza dell'unità: ${\displaystyle A[x]}$ è un anello unitario se e solo se lo è ${\displaystyle A}$, così come ${\displaystyle A[X]}$è un dominio d'integrità se e solo se lo è ${\displaystyle A}$: se lo è ${\displaystyle A}$, infatti, il prodotto dei due monomi di grado massimo è ancora un monomio non nullo, unico con quel grado; viceversa, ${\displaystyle A}$ è un sottoanello di ${\displaystyle A[X]}$, formato dalle sue costanti, e quindi non può possedere divisori dello zero.

Dal punto di vista della fattorizzazione, se ${\displaystyle A}$ è un anello a fattorizzazione unica lo è anche ${\displaystyle A[X]}$ (e quindi anche ogni ${\displaystyle A[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$). La dimostrazione procede prima esaminando il caso in cui ${\displaystyle A}$ è un campo: in questa situazione, è sempre possibile dividere i coefficienti dei monomi di grado massimo, e quindi è possibile la divisione tra polinomi, che rende ${\displaystyle A[X]}$ un anello euclideo con la valutazione data dal grado del polinomio; bisogna notare tuttavia che ${\displaystyle A[X]}$ non è un campo, e quindi ${\displaystyle A[X,Y]}$ non è un anello euclideo: in effetti non è neppure un anello ad ideali principali, in quanto l'ideale ${\displaystyle (X,Y)}$ non può essere generato da un singolo elemento. Passando poi ad un anello a fattorizzazione unica ${\displaystyle A}$ generico, si nota che ${\displaystyle A[X]}$ è un sottoanello di ${\displaystyle K[X]}$, dove ${\displaystyle K}$ è il campo dei quozienti di ${\displaystyle A}$; la tesi segue quindi dal lemma di Gauss, che afferma che un polinomio primitivo (ovvero il cui massimo comun divisore tra i coefficienti è 1) è irriducibile in ${\displaystyle A[X]}$ se e solo se è irriducibile in ${\displaystyle K[X]}$.

Un'altra importante proprietà che passa all'anello dei polinomi è la noetherianità: se ${\displaystyle A}$ è un anello noetheriano, lo è anche ${\displaystyle A[X]}$. Tale risultato è noto come teorema della base di Hilbert.

• Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 9788808162700

• Polinomio
• Teoria degli anelli
• Geometria algebrica
• Teorema fondamentale dell'algebra
• Campo algebricamente chiuso

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