Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:
Notasi pertidaksamaan
Notasi
Arti
Contoh
<
lebih kecil kurang dari
2 < 3 x + 1 < 3
>
lebih besar lebih dari
3 > 2 3x + 1 > 5
≤
lebih kecil atau sama dengan batas dibawah maksimum maksimal sebanyaknya paling banyak tidak lebih dari sekurangnya
2 ≤ 3 x + 1 ≤ 3
≥
lebih besar atau sama dengan batas diatas minimum minimal sesedikitnya paling sedikit tidak kurang dari selebihnya
3 ≥ 2 3x + 1 ≥ 5
≠
tidak sama dengan
2 ≠ 3 x + 1 ≠ 3
a < x < b
diantara a dan b
2 < x < 5
a ≤ x < b
diantara a dan b bila ada a
2 ≤ x < 5
a < x ≤ b
diantara a dan b bila ada b
2 < x ≤ 5
a ≤ x ≤ b
diantara a dan b bila ada a dan b
2 ≤ x ≤ 5
x < a v x > b
kurang dari a atau lebih dari b
x < 2 v x > 5
x ≤ a v x > b
maksimal a atau lebih dari b
x ≤ 2 v x < 5
x < a v x ≥ b
kurang dari a atau minimal b
x < 2 v x ≥ 5
x ≤ a v x ≥ b
maksimal a atau minimal b
x ≤ 2 v x ≥ 5
Jenis-jenis pertidaksamaan
Pertidaksamaan Linear
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
(karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)
Pertidaksamaan Kuadrat
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
dibuat harga nol
dibuat irisan
-2
5
+++
N/A
----
N/A
+++
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
dibuat harga nol
dibuat irisan
(-4)
(3)
+++
N/A
----
N/A
+++
Pertidaksamaan Irasional
Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:
atau
kuadratkan kedua sisinya akan menjadi atau serta haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0.
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
Irisan 1
dibuat harga nol
karena ada syarat akar maka:
Irisan 2
dibuat harga nol
Irisan 3
gabungkan umum dan syarat
Irisan
-2
(0)
(4)
5
(10)
pertama
tidak
N/A
ya
N/A
ya
N/A
ya
N/A
tidak
N/A
tidak
kedua
ya
N/A
ya
N/A
tidak
N/A
ya
N/A
ya
N/A
ya
ketiga
ya
N/A
ya
N/A
ya
N/A
ya
N/A
ya
N/A
tidak
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
Irisan 1
dibuat harga nol
karena ada syarat akar maka:
Irisan 2
dibuat harga nol
Irisan 3
gabungkan umum dan syarat
Irisan
(-50/3)
(-6)
(-2)
(2)
(9)
pertama
ya
N/A
ya
N/A
tidak
N/A
tidak
N/A
tidak
N/A
ya
kedua
ya
N/A
ya
N/A
ya
N/A
tidak
N/A
ya
N/A
ya
ketiga
tidak
N/A
ya
N/A
ya
N/A
ya
N/A
ya
N/A
ya
Pertidaksamaan Pecahan
Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:
di mana adalah fungsi aljabar dengan dan merepresentasikan notasi pertidaksamaan.
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
karena ada syarat pecahan maka:
penyebut 1
penyebut 2
dibuat irisan
2
11/4
3
+++
N/A
----
N/A
+++
N/A
----
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
dibuat harga nol
(tanpa gambar irisan)
karena ada syarat pecahan maka:
penyebut 1
penyebut 2
dibuat irisan
-17
(-7)
3
(5)
+++
N/A
----
N/A
+++
N/A
----
N/A
+++
Pertidaksamaan Mutlak
Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:
Model I
atau
haruslah mempunyai dua nilai yaitu
Model II
Jika atau maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi atau .
Model III
Jika maka menghasilkan dan .
begitupula .
Model IV
Jika terkurung maka f(x) menghasilkan serta -f(x) menghasilkan .
Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)
untuk
definit +
untuk
dibuat harga nol
dibuat irisan
-4
3
+++
N/A
----
N/A
+++
Tentukan nilai x dari persamaan !
terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada
untuk | x^2 - 4x - 12 |
batasan f(x)
dibuat harga nol
dibuat irisan
-2
6
+++
N/A
----
N/A
+++
batasan -f(x)
dibuat harga nol
dibuat irisan
-2
6
+++
N/A
----
N/A
+++
untuk | 7 - 6x |
batasan f(x)
batasan -f(x)
keempat batas-batas akan dibuat irisan
irisan
-2
7/6
6
pertama
x^2 - 4x - 12
N/A
N/A
N/A
x^2 - 4x - 12
kedua
N/A
-(x^2 - 4x - 12)
N/A
-(x^2 - 4x - 12)
N/A
ketiga
7 - 6x
N/A
7 - 6x
N/A
N/A
keempat
N/A
N/A
-(7 - 6x)
N/A
-(7 - 6x)
untuk x <= -2
dibuat harga nol
dibuat irisan
(-6)
(-2)
(4)
Ya
N/A
Ya
N/A
Tidak
N/A
Tidak
+++
N/A
----
N/A
----
N/A
+++
untuk -2 < x <= 7/6
dibuat harga nol
dibuat irisan
-2
(0)
(7/6)
(10)
Tidak
N/A
Ya
N/A
Ya
N/A
Tidak
N/A
Tidak
+++
N/A
+++
N/A
----
N/A
----
N/A
+++
untuk 7/6 < x < 6
dibuat harga nol
dibuat irisan
(-2)
(0)
7/6
6
Tidak
N/A
Tidak
N/A
Tidak
N/A
Ya
N/A
Tidak
+++
N/A
----
N/A
+++
N/A
+++
N/A
+++
untuk x >= 6
definit +
gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
akar dari
definit +
karena ada syarat pecahan maka:
penyebut 1
penyebut 2
akar dari
dibuat harga nol
(tanpa gambar irisan)
karena ada syarat pecahan maka:
penyebut 1
penyebut 2
dibuat irisan
-6
2*
3
10*
+++
N/A
----
N/A
----
N/A
+++
N/A
+++
nb: * = mempunyai 2 akar
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
dibuat harga nol
dibuat irisan
2
5
+++
N/A
----
N/A
+++
karena ada syarat akar maka:
akar 1
dibuat harga nol
dibuat irisan
0
4
+++
N/A
----
N/A
+++
akar 2
gabungkan umum dan syarat
irisan
(0)
(2)
(10/3)
(4)
(5)
pertama
ya
N/A
ya
N/A
tidak
N/A
tidak
N/A
tidak
N/A
ya
kedua
ya
N/A
tidak
N/A
tidak
N/A
tidak
N/A
ya
N/A
ya
ketiga
tidak
N/A
tidak
N/A
tidak
N/A
ya
N/A
ya
N/A
ya
Pertidaksamaan aritmatika dan geometri
Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif a1, a2, …, an kita punya H ≤ G ≤ A ≤ Q, dimana
(rata-rata harmonis),
(rata-rata geometris),
(rata-rata aritmatika),
(rata-rata kuadrat).
Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor u dan v dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa
where adalah produk dalam. Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks; Di ruang Euklides Rn dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah
Pertidaksamaan pangkat
Sebuah "pertidaksamaan pangkat" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk ab, di mana a dan b adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika.
Contoh
Dari bilangan riil x,
Bila x > 0 dan p > 0, maka
Dalam batas p → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(x).
Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:
Biner (matematika), untuk penggunaan tanda <dan ›yang serupa sebagai tanda kurung
Inklusi (teori himpunan)
Inequation
Interval (matematika)
Daftar pertidaksamaan
Daftar pertidaksamaan segitiga
Himpunan yang dipesan sebagian
Operator relasional, digunakan dalam bahasa pemrograman untuk menunjukkan ketidaksetaraan
Referensi
^Laub, M.; Ilani, Ishai (1990). "E3116". The American Mathematical Monthly. 97 (1): 65–67. doi:10.2307/2324012. JSTOR 2324012.
^Manyama, S. (2010). "Solution of One Conjecture on Inequalities with Power-Exponential Functions" (PDF). Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications. 7 (2): 1.
Sumber
Hardy, G., Littlewood J. E., Pólya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
Beckenbach, E. F., Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
Grinshpan, A. Z. (2005), "General inequalities, consequences, and applications", Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71–100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001
Murray S. Klamkin. "'Quickie' inequalities" (PDF). Math Strategies. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2020-10-03. Diakses tanggal 2020-09-27.
Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format.
Harold Shapiro (2005). "Mathematical Problem Solving". The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan.
"3rd USAMO". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-02-03.Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
Pachpatte, B. G. (2005). Mathematical Inequalities. North-Holland Mathematical Library. 67 (edisi ke-first). Amsterdam, The Netherlands: Elsevier. ISBN 0-444-51795-2. ISSN 0924-6509. MR 2147066. Zbl 1091.26008.
Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8.
Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5.
Pranala luar
Wikimedia Commons memiliki media mengenai Inequalities (mathematics).