Fungsi integral logaritmik

Plot of the logarithmic integral function li(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
Gambar yang memperlihatkan grafik fungsi logaritmik li(z) di bidang kompleks dari {{-2-2i ke 2+2i.

Dalam matematika, fungsi integral logaritmik atau logaritma integral (bahasa Inggris: logarithmic integral function, integral logarithm), yang dinyatakan sebagai li(x), merupakan fungsi istimewa yang berkaitan dalam masalah fisika dan dalam teori bilangan. Menurut teorema bilangan prima, fungsi ini merupakan aproksimasi yang paling baik dalam menghitung fungsi penghitungan bilangan prima.

Representasi integral

Grafik fungsi integral logaritmik

Fungsi ini mempunyai representasi integral, yang terdefinisi untuk semua bilangan real positif x ≠ 1 dengan menggunakan integral tentu

li ⁡ ( x ) = ∫ 0 x d t ln ⁡ t . {\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}

Pada rumus di atas, ln menyatakan logaritma alami. Fungsi 1ln t mempunyai singularitas di t = 1, dan integral untuk x > 1 dipandang sebagai nilai prinsip Cauchy.

li ⁡ ( x ) = lim ε → 0 + ( ∫ 0 1 − ε d t ln ⁡ t + ∫ 1 + ε x d t ln ⁡ t ) . {\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).}

Integral logaritmik Euler

Fungsi integral logaritmik Euler adalah fungsi yang didefinisikan sebagai

Li ⁡ ( x ) = ∫ 2 x d t ln ⁡ t = li ⁡ ( x ) − li ⁡ ( 2 ) . {\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}

Representasi integral di atas mempunyai kegunaan untuk menghindari singularitas di domain pengintegralan.

Referensi

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, ed. (1983). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (edisi ke-Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.  Parameter |orig-date= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

  • Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", dalam Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248