Szabadelektron-modell

A szilárdtestfizikában a szabadelektron-modell egy egyszerű modell a fémes szilárdtestek kristályos szerkezetében a vezetési sáv működésének leírására. Eredetileg Arnold Sommerfeld fejlesztette ki ezt az elméletet, kombinálva a klasszikus Drude-modellt a kvantummechanika Fermi–Dirac-statisztikájával, ezért Drude–Sommerfeld-modellnek is hívják.

Alkalmazásai

A szabadelektron üresrács-közelítés elmélete alapozza meg az energiasávok modelljét, amely közel-szabadelektron modellként is ismert. Egyszerűségéből adódóan sikeresen magyaráz meg különféle kísérleti jelenségeket, mint például:

  • a Wiedemann–Franz-törvény, mely az elektromos vezetőképességre és a termikus vezetőképességre vonatkozik,
  • a hőkapacitás hőmérsékletfüggése,
  • az elektronikus állapotsűrűség formái,
  • energiaértékek tartománya,
  • elektromos vezetőképesség,
  • fémek termikus elektronemissziója.

Elképzelések és feltételezések

Ahogy a Drude-modellnél feltételezik, a vezetési elektronok teljesen le vannak csatolva az ionoktól (elektrongázt formálva). Mint egy ideális gázban, az elektron-elektron kölcsönhatást teljesen elhanyagolják. A fémeknél az elektrosztatikus mezők gyengék az árnyékoló hatás miatt. A kristályrácsot nem veszik explicit módon számításba. A kvantummechanikai igazolást a Bloch-tétel adja: egy nem kötött elektron periodikus potenciálban mozog, mint egy szabad elektron vákuumban, azzal a különbséggel, hogy m tömegét egy m* effektív tömeggel kell helyettesíteni, amely jelentősen eltérhet m-től. Még negatív effektív tömeg is alkalmazható az elektronlyukak általi vezetés leírására.

Az effektív tömeg a sávszerkezet számításaiból vezethető le.

Míg a statikus rács nem akadályozza az elektron mozgását, az elektronok szóródni képesek a szennyezések és a fononok miatt; e két kölcsönhatás határozza meg az elektromos és termikus vezetőképességet (a szupravezetés egy még jobban kidolgozott elméletet igényel, mint a szabadelektron-modell).

A Pauli-elv szerint minden egyes fázistérelem, (Δk)³(Δx)³ csak két elektront tartalmazhat (spinkvantumszámonként egyet). A rendelkezésre álló elektronállapotoknak ezt a megkötését a Fermi–Dirac-statisztika veszi figyelembe (lásd még Fermi-gáz). A szabadelektron-modell legfőbb jóslatai a Fermi–Dirac-elmélet Sommerfeld-kiterjesztéséből származtathatók, a Fermi-szintnek megfelelő energiáknál.

A szabad elektron energiája és hullámfüggvénye

Haladó síkhullám

Egy szabad részecske potenciálja V ( r ) = 0 {\displaystyle V(\mathbf {r} )=0} . A Schrödinger-egyenlet az ilyen részecskére, mint a szabad elektronra: [1] [2][3]

− ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ ( r , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}

A hullámfüggvény Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} szeparálható egy időfüggő és egy időfüggetlen egyenlet megoldásainak szorzatára. Az időfüggő egyenlet:

Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) e − i ω t {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}
E = ℏ ω {\displaystyle E=\hbar \omega }

energiával Az időfüggetlen egyenlet:

ψ k ( r ) = 1 Ω r e i k ⋅ r {\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}

k {\displaystyle \mathbf {k} } hullámszámvektorral. Ω r {\displaystyle \Omega _{r}} annak a térnek a térfogata, ahol az elektron található. Az elektron kinetikus energiája:

E = ℏ 2 k 2 2 m {\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}

A Schrödinger-egyenlet síkhullámmegoldása:

Ψ ( r , t ) = 1 Ω r e i k ⋅ r − i ω t {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}}

A sziládtestfizikában és a kondenzált anyagok fizikájában a legfontosabb a ψ k ( r ) {\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )} időfüggetlen megoldás. Ez az elektronikus sávszerkezet-modellek kiindulópontja, amelyet széles körben alkalmaznak a szilárdtestfizikában a modellek Hamilton-függvényének felépítésekor, mint például a közelszabad-elektron modellnél és a szoroskötés-modellnél, valamint más modelleknél, amelyek muffin-tin közelítést használnak. Ezen Hamilton-függvények sajátfüggvényei Bloch-állapotok, modulált síkhullámok.

Haladó síkhullámú megoldás

Az időfüggetlen stacionárius hullám és az időfüggő oszcillátor szorzata:

Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) e − i ω t {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}} megadja a haladóhullám-megoldást

Ψ ( r , t ) = 1 Ω r e i k ⋅ r − i ω t {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}} mely a végleges megoldás a szabadelektron-hullámfunkcióra.

Síkhullámok


Hivatkozások

  1. ↑ Albert Messiah. Quantum Mechanics. Dover Publications (1999). ISBN 0-486-40924-4 
  2. ↑ Stephen Gasiorowicz. Quantum Physics. Wiley & Sons (1974). ISBN 0-471-29281-8 
  3. ↑ Eugen Merzbacher. Quantum Mechanics. Wiley & Sons (1961) 

Források

  • Albert Messiah: Quantum Mechanics. (hely nélkül): Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40924-4  
  • Stephen Gasiorowicz: Quantum Physics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1974. ISBN 0-471-29281-8  
  • Eugen Merzbacher: Quantum Mechanics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1999.  
  • C. Kittel: Introduction to Solid State Physics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1999. ISBN 0-486-40924-4  

További információk

  • http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/brillouin.htm Archiválva 2011. szeptember 13-i dátummal a Wayback Machine-ben
  • http://phycomp.technion.ac.il/~nika/brillouin_zones.html Archiválva 2006. december 5-i dátummal a Wayback Machine-ben
  • http://www.newscientist.com/article/mg18925351.300
  • http://iopscience.iop.org/0143-0807/21/6/314/pdf/ej0614.pdf

További információk

  • fizika Fizikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap