Prímideál

Egy prímideál az algebrában egy gyűrű olyan ideálja, ami számos tekintetben a prímszámok fogalmának felel meg.

Definíció

Egy kommutatív, egységelemes ${\displaystyle R}$ gyűrű ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subsetneq R}$ ideálja akkor prímideál, ha

${\displaystyle \forall x,y\in R:\,xy\in {\mathfrak {p}}\implies x\in {\mathfrak {p}}}$ vagy ${\displaystyle y\in {\mathfrak {p}}}$.

A prímideálok halmazát a gyűrű spektrumának nevezzük és ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$-rel jelöljük. A spektrum a Zariski-topológiával ellátva topologikus térré tehető.

Példák

• A racionális egészek ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ gyűrűjében a prímideálok ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$ alakúak, ahol ${\displaystyle p=0}$ vagy prímszám.
• A ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ polinomgyűrűben a ${\displaystyle 2}$ és ${\displaystyle X}$ által generált ideál prímideál, és pontosan azokból a polinomokból áll, amiknek konstans tagja páros szám.
• Alaptételes gyűrűben egy irreducibilis elem által generált ideál prímideál.

Tulajdonságok

• Egy ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subsetneq R}$ ideál akkor és csak akkor prímideál, ha ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$ nullosztómentes.
• Minden maximális ideál prím, de a megfordítás általában nem igaz.
• Krull tétele szerint tetszőleges ${\displaystyle R}$-ben létezik maximális ideál, következésképpen prímideál is.
• Egy ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq R}$ ideál akkor és csak akkor prímideál, ha ${\displaystyle R\setminus {\mathfrak {p}}}$ multiplikatívan zárt halmaz. Ez a prímideálnál vett lokalizált fogalmához vezet; ezt ${\displaystyle (R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}R}$ helyett rövidebben ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$-vel szokás jelölni.
• Prímideál gyűrűhomomorfizmusnál vett ősképe prímideál.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Prime ideal című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Primideal című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.