Kardáncsukló

Kardáncsukló

A kardáncsukló két rúd (tengely) közötti olyan kapcsolat, mely lehetővé teszi azt, hogy egymáshoz képest hajlítónyomaték ébredése nélküli minden irányban elhajoljanak, de meggátolja a két rúd egymáshoz képesti elcsavarodását és így lehetőség nyílik forgatónyomaték átvitelére egyik tengelyről a másikra. Más definíció szerint a kardáncsukló négytagú csuklós gömbi mechanizmus.

A kardáncsukló központi eleme az úgynevezett kardánkereszt, mely lényegében két egymásra merőleges csap-párból áll, melyek a tengelyek végére szerelt vagy azokkal egy darabból kiképzett villákhoz csatlakoznak csapágyakon keresztül.

Története

A kardáncsukló elve a kardán-felfüggesztés használata során merült fel, ami már az ókortól ismeretes volt. Egyik alkalmazása az ókori görögök által feltalált ostromgép, ballista esetén ismert. 1545-ben Gerolamo Cardano olasz matematikus volt az első, aki a kardáncsuklót hajtásra javasolta, de kétséges, hogy kivitelezte-e valaha is. Később Christopher Polhem svéd tudós és vállalkozó ismét feltalálta, majd 1676-ban Robert Hooke készített egy működő kardáncsuklót. Európában főként kardáncsuklónak nevezik a mechanizmust, de a fentiek miatt angolszász nyelvterületen gyakran Polhem-csukló, Hooke-csukló vagy univerzális csukló a neve. Ez utóbbi először Henry Ford egyik szabadalmában jelenik meg a 19. század végén.

Mozgásegyenletei

A kardáncsukló geometriai viszonyai

A kardáncsukló helyzetét három változóval lehet jellemezni:

  • γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} az 1. tengely szögelfordulása,
  • γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}} a 2. tengely szögelfordulása,
  • β {\displaystyle \beta } a tengelyek egymáshoz képesti hajlásszöge: nulla, ha a két tengely egybeesik.

Ezek a változók az ábrán láthatók. Ugyancsak látható egy rögzített koordináta-rendszer x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}} és y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}} egységvektora valamint a két tengelyre merőleges, ugyancsak rögzített sík. A két tengelyt összekapcsoló kardánkereszt és a két villa az ábrán nincs feltüntetve. Az 1. tengely a piros sík piros pontjain, a 2. tengely pedig a kék sík kék pontjain csatlakozik a kardánkereszthez. A forgó tengelyekhez rögzített x koordinátatengelyeket egységvektoraikkal ( x ^ 1 {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}} and x ^ 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}} ) jelöltük, melyek az origótól a csatlakozási pontjuk felé mutatnak. Az ábrából látható, hogy a x ^ 1 {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}} elfordulási szöge γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} az x tengelytől számított kezdeti helyzetéhez képest és x ^ 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}} elfordulási szöge pedig γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}} az y tengelyhez képest. A két tengely (és a így a kék és piros sík is) egymással β {\displaystyle \beta } szöget zár be.

Az x ^ 1 {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}} a piros síkban mozog és a γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} szöggel így fejezhető ki:

x ^ 1 = [ cos ⁡ γ 1 , sin ⁡ γ 1 , 0 ] {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}=[\cos \gamma _{1}\,,\,\sin \gamma _{1}\,,\,0]}

Az x ^ 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}} a kék síkban mozog és az x tengely x ^ = [ 1 , 0 , 0 ] {\displaystyle {\hat {x}}=[1,0,0]} egységvektorának a [ π / 2 , β , γ 2 {\displaystyle [\pi \!/2\,,\,\beta \,,\,\gamma _{2}} ] Euler-szögekkel való elforgatásának eredménye:

x ^ 2 = [ − cos ⁡ β sin ⁡ γ 2 , cos ⁡ γ 2 , sin ⁡ β sin ⁡ γ 2 ] {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}=[-\cos \beta \sin \gamma _{2}\,,\,\cos \gamma _{2}\,,\,\sin \beta \sin \gamma _{2}]}

A x ^ 1 {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}} és x ^ 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}} tengelyekre felírható kényszer az, hogy a kardánkereszt miatt merőlegesnek kell lenniük egymásra:

x ^ 1 ⋅ x ^ 2 = 0 {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}\cdot {\hat {\mathbf {x} }}_{2}=0}

Így a két szöghelyzettel kifejezett mozgásegyenlet:

sin ⁡ γ 1 cos ⁡ γ 2 = cos ⁡ β cos ⁡ γ 1 sin ⁡ γ 2 {\displaystyle \sin \gamma _{1}\cos \gamma _{2}=\cos \beta \cos \gamma _{1}\sin \gamma _{2}\,}

A γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} és γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}} szög egy forgó csuklónál az idő függvénye lesz. Ha a mozgásegyenletet az idő szerint deriváljuk, és magával a mozgásegyenlettel az egyik változót kiküszöböljük az ω 1 = d γ 1 / d t {\displaystyle \omega _{1}=d\gamma _{1}/dt} és ω 2 = d γ 2 / d t {\displaystyle \omega _{2}=d\gamma _{2}/dt} szögsebesség közötti összefüggést kapjuk:

A hajtott tengely ω 2 {\displaystyle \omega _{2}\,} szögsebessége a γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}\,} szög függvényében A hajtott tengely γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}\,} szögelfordulása a hajtó tengely γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}\,} szögelfordulásának függvényében
ω 2 = ω 1 cos ⁡ β 1 − sin 2 ⁡ β cos 2 ⁡ γ 1 {\displaystyle \omega _{2}={\frac {\omega _{1}\cos \beta }{1-\sin ^{2}\beta \cos ^{2}\gamma _{1}}}}
Kardáncsukló egy hajtótengelyben

Az ábrán látható, hogy állandó behajtó tengely szögsebesség mellett a kimenő tengelyen a szögsebesség periodikusan változik, mégpedig a behajtó tengely frekvenciájának kétszeresével. Ha a szögsebesség függvényét az idő szerint tovább deriváljuk, az a 1 {\displaystyle a_{1}} és a 2 {\displaystyle a_{2}} szöggyorsulás közötti összefüggéshez jutunk:

a 2 = a 1 cos ⁡ β 1 − sin 2 ⁡ β cos 2 ⁡ γ 1 − ω 1 2 cos ⁡ β sin 2 ⁡ β sin ⁡ 2 γ 1 ( 1 − sin 2 ⁡ β cos 2 ⁡ γ 1 ) 2 {\displaystyle a_{2}={\frac {a_{1}\cos \beta }{1-\sin ^{2}\beta \,\cos ^{2}\gamma _{1}}}-{\frac {\omega _{1}^{2}\cos \beta \sin ^{2}\beta \sin 2\gamma _{1}}{(1-\sin ^{2}\beta \cos ^{2}\gamma _{1})^{2}}}}

Alkalmazása

A kardáncsuklót gyakran alkalmazzák olyan helyeken, ahol egymáshoz szögben hajló tengelyeket kell összekötni. Ilyen például az olyan szelepek mozgatása, mely a kezelőhelytől nem elérhető távolságban (1–2 m) van. Ilyen és hasonló, lassú tengelymeghajtásra a kardáncsuklóval kapcsolt tengelyek teljesen megfelelnek. Más a helyzet akkor, ha a hajtásnak nagyobb fordulatszámon jelentős teljesítményt kell átvinnie, például járművek hajtáslánca esetén. Ilyenkor ugyanis a kardáncsukló káros rezgéseket gerjeszthet, mely vagy a működés szempontjából nemkívánatos, vagy a hajtás idő előtti kifáradását okozza. Az ilyen esetekben csaknem kiküszöbölhető a szögsebesség változása, ha a hajtott és hajtó tengely párhuzamosan helyezkedik el és egy harmadik tengely egy-egy kardáncsuklóval a végén kapcsolja össze velük. Ez a megoldás a legtöbb gépkocsinál, nagyon sok vasúti hajtásnál elterjedt megoldás, annál is inkább, mert lehetővé teszi, hogy a két tengely egymáshoz képest el is mozduljon (természetesen betartva a tengelyek párhuzamosságát), ezzel ugyanis a kerekek és a motor közötti rugózás egyszerűen megoldható.

A gyakorlatban sokszor nem lehet betartani pontosan a fenti geometriai követelményeket, ilyenkor a hajtás rugalmasságának fokozásával lehet csökkenteni a káros gerjesztés hatását. Az egyik ilyen jól bevált módszer a Hardy-tárcsa alkalmazása. A Hardy-tárcsa a kardáncsuklót helyettesítő tengelykapcsoló, mely a kardáncsukló helyett rugalmas elemet használ (kordszövettel erősített gumilemezeket), mely azonban nemcsak a hajlítás irányában rugalmas, hanem kisebb mértékben csavarásra is rugalmasan kitér.

Források

  • Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957.
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

Külső hivatkozások

  • Kabai Sándor kardáncsukló szimulációja (The Wolfram Demonstrations Project).