Körosztási polinom

A körosztási polinomok a primitív egységgyökök minimálpolinomjai. Jellegzetességük, hogy minden gyökük primitív egységgyök, éspedig minden gyökük ugyanolyan fokú primitív egységgyök. Fontos szerephez jutnak a geometriai szerkesztések elméletében és a Galois-elméletben.

Az n-edik körosztási polinom

Φ n ( x ) = ∏ i = 1 φ ( n ) ( x − ξ i ) {\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(x-\xi _{i})}

ahol ξ1,…,ξφ(n) az n-edik primitív egységgyökök, tehát olyan n-edik egységgyökök, amelyek nem kisebb fokú egységgyökök és φ(n) az Euler-függvény. Az első néhány példa:

Φ 1 ( x ) = x − 1 {\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}
Φ 2 ( x ) = x + 1 {\displaystyle \Phi _{2}(x)=x+1}
Φ 3 ( x ) = x 2 + x + 1 {\displaystyle \Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1}
Φ 4 ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1}
Φ 5 ( x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle \Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}
Φ 6 ( x ) = x 2 − x + 1 {\displaystyle \Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1}
Φ 7 ( x ) = x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle \Phi _{7}(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}
Φ 8 ( x ) = x 4 + 1 {\displaystyle \Phi _{8}(x)=x^{4}+1}
Φ 9 ( x ) = x 6 + x 3 + 1 {\displaystyle \Phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1}
Φ 10 ( x ) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 {\displaystyle \Phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}
Φ 11 ( x ) = x 10 + x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle \Phi _{11}(x)=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}
Φ 12 ( x ) = x 4 − x 2 + 1 {\displaystyle \Phi _{12}(x)=x^{4}-x^{2}+1}
Φ 27 ( x ) = x 18 + x 9 + 1 {\displaystyle \Phi _{27}(x)=x^{18}+x^{9}+1}

Az n-edik körosztási polinom egész együtthatós, φ(n) fokú, Q {\displaystyle \mathbb {Q} } felett irreducibilis polinom. Továbbá

x n − 1 = ∏ d | n Φ d ( x ) {\displaystyle x^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(x)}

Az első néhány körosztási polinomot tekintve úgy tűnhet, hogy Φ n ( x ) {\displaystyle \Phi _{n}(x)} együtthatói mindig az {1, −1, 0} halmazból kerülnek ki. Ez azonban nem igaz, mert például Φ 105 ( x ) {\displaystyle \Phi _{105}(x)} -ben a hetedfokú tag együtthatója −2; ez a legalacsonyabb fokú ellenpélda.

A Φ n ( x ) {\displaystyle \Phi _{n}(x)} körosztási polinom Q {\displaystyle \mathbb {Q} } feletti felbontási teste a Q ( ζ n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} körosztási test.

Források

  • Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
  • Laczkovich Miklós: A körosztási polinomokról, Új matematikai mozaik, Typotex, Budapest, 2002, 243-250.
  • Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!
  • matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap