Gamma-eloszlás

Az X valószínűségi változó p-edrendű λ paraméterű gamma-eloszlást követ – vagy rövidebben gamma-eloszlású – pontosan, ha sűrűségfüggvénye

f ( x ) = λ p x p − 1 e − λ x Γ ( p ) , {\displaystyle f(x)={\frac {\lambda ^{p}x^{p-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (p)}},}

ahol Γ(p) a gamma-függvény, λ és p pedig pozitív.

Speciálisan, ha p = n/2 és λ = 1/2, akkor X-et n szabadsági fokú χ²-eloszlásúnak nevezzük, valamint az elsőrendű (p = 1) λ paraméterű gamma-eloszlás azonos a λ paraméterű exponenciális eloszlással.

A gamma-eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

Karakterisztikus függvénye

φ ( t ) = ( 1 − i t λ ) − p {\displaystyle \varphi (t)=\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-p}}

A gamma-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

E ( X ) = p λ {\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {p}{\lambda }}}

Szórása

D ( X ) = p λ {\displaystyle \mathbf {D} (X)={\frac {\sqrt {p}}{\lambda }}}

Momentumai

E ( X k ) = Γ ( p + k ) Γ ( p ) λ k {\displaystyle \mathbf {E} (X^{k})={\frac {\Gamma (p+k)}{\Gamma (p)\lambda ^{k}}}}

Ferdesége

β 1 ( X ) = 2 p {\displaystyle \beta _{1}(X)={\frac {2}{\sqrt {p}}}\,}

Lapultsága

β 2 ( X ) = 6 p {\displaystyle \beta _{2}(X)={\frac {6}{p}}\,}

Gamma-eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

  • Gamma-eloszlású független valószínűségi változók összege is gamma-eloszlású. Pontosabban ha X1 p1-edrendű és X2 p2-edrendű gamma-eloszlású független valószínűségi változók λ paraméterrel, akkor X1 + X2 p1 + p2-edrendű gamma-eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel.
  • Exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege gamma-eloszlású. Pontosabban ha X1, X2, … Xn független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X1 + X2 + … + Xn n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.

Megjegyzés

Szokták a gamma-eloszlást Γ-eloszlásnak is írni.

További információk

  • Interaktív Java szimuláció a gamma-eloszlásról és a Poisson-folyamatról. Szerzők: Kyle Siegrist és Dawn Duehring

Források

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
  • Arató M. (2001): Nem-élet biztosítás matematika. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest.