Dirichlet-karakter

 Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

Az analitikus számelmélet egyik fontos eszköze, a Dirichlet-karakter (röviden: karakter) olyan χ függvény, ami a pozitív egészeket komplex számokra képezi, továbbá:

  • van olyan pozitív egész k, hogy minden n-re χ(n) = χ(n + k) teljesül, tehát a karakter periodikus, k periódussal.
  • χ(n) = 0 minden n-re, aminek van közös osztója k-val.
  • χ(mn) = χ(m)χ(n) minden pozitív m-re és n-re, tehát χ teljesen multiplikatív.
  • χ(1) = 1.

Példák

A legegyszerűbb példa a χ0 főkarakter: χ0(n)=1, ha (n,k)=1, különben 0.

Ha k=4, akkor egy további példa az a χ függvény, ami χ(n)=1, ha n 4-gyel osztva 1-et ad maradékul, χ(n)=-1, ha n 4-gyel osztva 3-at ad maradékul, a páros helyeken pedig 0.

Ha p prímszám, akkor a χ ( n ) = ( n p ) {\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right)} Legendre-szimbólum p periódusú Dirichlet-karakter.

Tulajdonságaik

  • Minden nemnulla χ(n) érték φ(k)-adik egységgyök.
  • A k periódusú Dirichlet-karakterek száma φ(k) (φ(k) az Euler-féle φ-függvény)
  • Ha χ ≠ χ 0 {\displaystyle \chi \neq \chi _{0}} , akkor
∑ n = 1 k χ ( n ) = 0. {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\chi (n)=0.}
  • Ha n ≢ 1 ( mod k ) {\displaystyle n\not \equiv 1{\pmod {k}}} , akkor
∑ χ χ ( n ) = 0. {\displaystyle \sum _{\chi }\chi (n)=0.}

Dirichlet-féle L-függvények

Egy χ Dirichlet-karakter segítségével a következő Dirichlet-féle L-függvény definiálható:

L ( χ , s ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s {\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}

ahol s olyan komplex szám aminek a valós része 1-nél nagyobb. Erre teljesül az Euler-féle szorzatelőállítás:

L ( χ , s ) = ∏ p ( 1 − χ ( p ) p s ) − 1 {\displaystyle L(\chi ,s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}}

ahol p a prímszámokon fut végig.

Az analitikus folytatás módszerével az egész komplex síkon értelmezett meromorf függvénnyé terjeszthető ki.

A Dirichlet-féle L-sorok kiterjesztései a Riemann-féle zéta-függvénynek és nemtriviális gyökeik elhelyezkedésére vonatkozik az általánosított Riemann-sejtés.

A Dirichlet-karaktereket és a hozzájuk tartozó L-függvényeket Dirichlet vezette be 1831-ben a számtani sorozatok prímszámaira vonatkozó tétele bizonyításához.