Théorème porte-manteau

Par définition d'une fonction de répartition, la propriété

${\displaystyle \lim _{n}\ F_{n}(x)\ =\ F(x)}$,

s'écrit sous la forme :

${\displaystyle \lim _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in A_{x}\right)\ =\ \mathbb {P} \left(X\in A_{x}\right)}$,

pour peu qu'on choisisse

${\displaystyle A_{x}\ =\ ]-\infty ,x]}$.

Par ailleurs

${\displaystyle \partial A_{x}\ =\ \{x\}}$.

Donc,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\in \partial A_{x}\right)\ =\ \mathbb {P} \left(X=x\right)\ =\ \ F(x)-F(x_{-})}$,

qui est nul si et seulement si F est continue à gauche en x, i.e. si et seulement si F est continue en x (en effet, une fonction de répartition est partout continue à droite).

On remarque que, pour la topologie discrète, toute partie de ${\displaystyle E}$ est ouverte et fermée. Par conséquent la frontière de n'importe quelle partie est toujours vide. Ainsi, si l'on a la convergence en loi, on en déduit par le critère 5 du théorème porte-manteau que

${\displaystyle \forall x\in E,\qquad \mathbb {P} (X_{n}=x)~{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}~\mathbb {P} (X=x)}$.

Réciproquement, supposons que la limite ci-dessus est valable et fixons ${\displaystyle A\subset E}$. Alors par le lemme de Fatou

${\displaystyle \liminf _{n}\mathbb {P} (X_{n}\in A)=\liminf _{n}\sum _{x\in A}\mathbb {P} (X_{n}=x)\geq \sum _{x\in A}\liminf _{n}\mathbb {P} (X_{n}=x)=\sum _{x\in A}\mathbb {P} (X=x)=\mathbb {P} (X\in A)}$.

Ainsi la convergence en loi est garantie par le critère 4 du théorème porte-manteau.

Si

${\displaystyle \lim _{n}\mathbb {E} \left[\varphi (X_{n})\right]\ =\ \mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]}$

est vrai pour toute fonction ${\displaystyle \varphi }$ bornée et continue sur E, alors cela est vrai en particulier pour toute fonction ${\displaystyle \varphi }$ bornée et uniformément continue sur E.

Soit F un fermé de E. Pour tout ${\displaystyle k\geq 1}$, on note

${\displaystyle F_{k}\ :=\ \left\{x\in E\mid d(x,F)\leq {\tfrac {1}{k}}\right\}}$.

De plus, pour tout ${\displaystyle x\in E}$ et ${\displaystyle k>0}$, on pose

${\displaystyle \varphi _{k}(x)\ :=\ f\left(k\,d(x,F)\right)=\ {\begin{cases}1-k\,d(x,F)&{\textrm {si}}\ x\in F_{k}\\0&{\textrm {si}}\ x\notin F_{k}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle f}$ est définie par la figure ci-contre. Ainsi,

${\displaystyle 1_{F}\ \leq \ \varphi _{k}\ \leq \ 1_{F_{k}}}$.

Puisque ${\displaystyle 1_{F}\ \leq \ \varphi _{k}}$, on a

${\displaystyle \limsup _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in F\right)\leq \ \limsup _{n}\mathbb {E} \left[\varphi _{k}(X_{n})\right]}$.

Comme les fonctions ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle x\mapsto d(x,F)}$ sont 1-lipschitziennes, ${\displaystyle \varphi _{k}}$ est uniformément continue, et d'après l'hypothèse 2

${\displaystyle \limsup _{n}\mathbb {E} \left[\varphi _{k}(X_{n})\right]\ =\ \lim _{n}\mathbb {E} \left[\varphi _{k}(X_{n})\right]\ =\ \mathbb {E} \left[\varphi _{k}(X)\right]}$.

De ${\displaystyle \varphi _{k}\ \leq \ 1_{F_{k}}\ }$, on déduit que

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi _{k}(X)\right]\leq \mathbb {P} \left(X\in F_{k}\right)}$.

Par conséquent, pour tout ${\displaystyle k\geq 1}$,

${\displaystyle \limsup _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in F\right)\leq \ \mathbb {P} \left(X\in F_{k}\right)}$.

Enfin, comme ${\displaystyle (F_{k})_{k}}$ est décroissante et comme ${\displaystyle \bigcap _{k\geq 1}F_{k}={\overline {F}}=F}$, on a

${\displaystyle \inf _{k}\mathbb {P} \left(X\in F_{k}\right)\ =\ \lim _{k}\mathbb {P} \left(X\in F_{k}\right)\ =\ \mathbb {P} \left(X\in F\right)}$,

d'où le résultat.

Supposons le point 3 vrai, et considérons un ouvert O de E. Alors O^c est un fermé et on a, en vertu, entre autres, du point 3 :

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in {\mathcal {O}}\right)&=\liminf _{n}\left(1-\mathbb {P} \left(X_{n}\in {\mathcal {O}}^{c}\right)\right)\\&=1-\limsup _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in {\mathcal {O}}^{c}\right)\\&\geq \ 1-\mathbb {P} \left(X\in {\mathcal {O}}^{c}\right)\\&=\mathbb {P} \left(X\in {\mathcal {O}}\right).\end{aligned}}}$

La démonstration de « 4 implique 3 » est identique.

Soit A un borélien de E tel que

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\in \partial A\right)=0}$.

Comme

${\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}\subset A\subset {\overline {A}}={\stackrel {\ \circ }{A}}\cup \partial A}$,

on en déduit que

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\in {\overline {A}}\right)\ =\ \mathbb {P} \left(X\in A\right)\ =\ \mathbb {P} \left(X\in {\stackrel {\ \circ }{A}}\right)}$.

Or, d'après le point 3

${\displaystyle \limsup _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in A\right)\leq \limsup _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in {\overline {A}}\right)\leq \mathbb {P} \left(X\in {\overline {A}}\right)}$

et d'après le point 4

${\displaystyle \liminf _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in A\right)\geq \liminf _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in {\stackrel {\ \circ }{A}}\right)\geq \mathbb {P} \left(X\in {\stackrel {\ \circ }{A}}\right)}$.

Finalement,

${\displaystyle \lim _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in A\right)=\mathbb {P} \left(X\in A\right)}$.

Commençons par traiter le cas où ${\displaystyle \psi }$ est une fonction continue et bornée, telle que ${\displaystyle 0<\psi <1}$. Alors :

• comme ${\displaystyle 0<\psi <1}$^[2],${\displaystyle \mathbb {E} \left[\psi (X)\right]=\int _{0}^{1}\mathbb {P} \left[\psi (X)>x\right]\,\mathrm {d} x}$ et de même pour les ${\displaystyle X_{n}}$ ;
• comme ${\displaystyle \psi }$ est continue^[3], ${\displaystyle \partial \psi ^{-1}(\left]x,+\infty \right[)\subset \psi ^{-1}(\left\{x\right\})}$ donc^[4]${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\in \partial \psi ^{-1}(\left]x,+\infty \right[)\right)=0}$ sauf pour un ensemble au plus dénombrable ${\displaystyle D_{0}}$ de valeurs de ${\displaystyle x}$et de même, pour tout ${\displaystyle n\geq 1}$,${\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{n}\in \partial \psi ^{-1}(\left]x,+\infty \right[)\right)=0}$ sauf pour un ensemble au plus dénombrable ${\displaystyle D_{n}}$ de valeurs de ${\displaystyle x}$.

L'ensemble ${\displaystyle \cup _{n\geq 0}D_{n}}$ est au plus dénombrable donc Lebesgue-négligeable. Par conséquent, en vertu du point 5 :

pour presque tout ${\displaystyle x\in \left[0,1\right]}$, ${\displaystyle \mathbb {P} \left[\psi (X_{n})>x\right]\to \mathbb {P} \left[\psi (X)>x\right]}$.

On conclut par convergence dominée :

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\psi (X_{n})\right]=\int _{0}^{1}\mathbb {P} \left[\psi (X_{n})>x\right]\,\mathrm {d} x\to \int _{0}^{1}\mathbb {P} \left[\psi (X)>x\right]\,\mathrm {d} x=\mathbb {E} \left[\psi (X)\right]}$.

Enfin, dans le cas général, pour une fonction continue bornée ${\displaystyle \varphi }$, telle que ${\displaystyle a<\varphi <b}$, on se ramène au cas précédent en posant

${\displaystyle \psi \ :=\ {\frac {\varphi -a}{b-a}}}$

de sorte que ${\displaystyle 0<\psi <1}$.

1. ↑ (en) Patrick Billingsley (en), Convergence of Probability Measures, Wiley, août 1999, 2^e éd., 296 p. (ISBN 978-0-471-19745-4), « The Portmanteau Theorem », p. 15-16.
2. ↑ Voir Espérance mathématique#Cas d'une variable aléatoire réelle positive.
3. ↑ Voir Continuité (mathématiques)#Caractérisations globales.
4. ↑ Voir Famille sommable#Propriétés.
5. ↑ (en) Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, Wiley, 1968, 1^re éd., 263 p., p. 16.
6. ↑ (en) Olav Kallenberg (en), Foundations of Modern Probability, 2^e éd. [détail de l’édition], Theorem 4.25 (Portmanteau theorem, Alexandrov), p. 75.
7. ↑ (en) A. D. Aleksandrov, « Additive set functions in abstract spaces », dans Mat. Sb., vol. 8, 1940, p. 307-348, vol. 9, 1941, p. 563-628 et vol. 13, 1943, p. 169-238.
8. ↑ Billingsley 1999, p. 273 (Bibliography).