Théorème de comparaison de Sturm-Picone

En mathématiques, dans le domaine des équations différentielles ordinaires, le théorème de comparaison de Sturm-Picone, du nom de Charles Sturm et Mauro Picone, est un théorème classique qui permet de comparer les solutions de deux équations différentielles voisines. Plus précisément, il fournit des critères d'oscillation (en) et de non-oscillation des solutions de certaines équations différentielles linéaires sur les réels.

Soient pi, qi pour i = 1, 2 des fonctions continues à valeurs réelles sur un segment [a, b] et soient deux équations différentielles homogènes linéaires du second ordre sous forme auto-adjointe :

  1. ( p 1 ( x ) y ′ ) ′ + q 1 ( x ) y = 0 {\displaystyle (p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0} ,
  2. ( p 2 ( x ) y ′ ) ′ + q 2 ( x ) y = 0 {\displaystyle (p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0} .

On suppose que pour tout x,

0 < p 2 ( x ) ≤ p 1 ( x ) {\displaystyle 0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)}

et

q 1 ( x ) ≤ q 2 ( x ) . {\displaystyle q_{1}(x)\leq q_{2}(x).}

Soit u une solution non triviale de (1), soient z1 et z2 des zéros successifs de u et soit v une solution non triviale de (2). Alors l’une des propriétés suivantes est vérifiée :

  • Il existe x dans ]z1, z2[ tel que v(x) = 0 ;
  • ou il existe un λ réel tel que v(x) = λ u(x) pour tout x.

La première partie de la conclusion est due à Sturm (1836)[1] tandis que la deuxième partie (alternative) du théorème est due à Picone en 1910[2],[3], dont la preuve beaucoup plus simple dérive de sa désormais célèbre identité de Picone. Dans le cas particulier où les deux équations sont identiques, on obtient le théorème de séparation de Sturm (en)[4].

Articles connexes

Notes et références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sturm–Picone comparison theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Charles Sturm, « Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre », J. Math. Pures Appl., vol. 1,‎ , p. 106-186.
  2. ↑ Mauro Picone, « Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenziale lineare ordinaria del second'ordine », Ann. Scuola Norm. Pisa, vol. 11,‎ , p. 1-141.
  3. ↑ D. Hinton, « Sturm’s 1836 Oscillation Results Evolution of the Theory », dans Sturm-Liouville Theory, (ISBN 3-7643-7066-1, DOI 10.1007/3-7643-7359-8_1), p. 1-27.
  4. ↑ Pour une généralisation de cet important théorème à un théorème de comparaison impliquant trois équations du second ordre ou plus,voir le théorème de comparaison de Hartman-Mingarelli (en), dont une preuve simple résulte de l'identité de Mingarelli (en).

Bibliographie

  • Joaquín Basilio Diaz et Joyce R. McLaughlin, « Sturm comparison theorems for ordinary and partial differential equations », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 75,‎ , p. 335-339 (lire en ligne)
  • Heinrich Guggenheimer, Applicable geometry : Global and local convexity, Huntington, Krieger, coll. « Applied Mathematics Series », (ISBN 0-88275-368-1, MR 0442821), p. 79.
  • Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, RI, American Mathematical Society, (ISBN 978-0-8218-8328-0, lire en ligne)
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