Processus d'Ornstein-Uhlenbeck

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, nommé d'après Leonard Ornstein et George Uhlenbeck[1] et aussi connu sous le nom de mean-reverting process, est un processus stochastique décrit par l'équation différentielle stochastique

d r t = − θ ( r t − μ ) d t + σ d W t , {\displaystyle dr_{t}=-\theta (r_{t}-\mu )\,dt+\sigma \,dW_{t},\,}

où θ, μ et σ sont des paramètres déterministes et Wt est le processus de Wiener.

Trois exemples du processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec θ=1, μ=1.2, σ=0.3:
Bleu : Valeur initiale a=0 (p. s.)
Vert : Valeur initiale a=2 (p. s.)
Rouge : Valeur initiale distribuée normalement ainsi le procédé a une mesure invariante

Solution

Cette équation est résolue par la méthode de variation des constantes. Appliquons le lemme d'Itō à la fonction f ( r t , t ) = r t e θ t {\displaystyle f(r_{t},t)=r_{t}e^{\theta t}} pour obtenir

d f ( r t , t ) = θ r t e θ t d t + e θ t d r t = e θ t θ μ d t + σ e θ t d W t . {\displaystyle df(r_{t},t)=\theta r_{t}e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dr_{t}\,=e^{\theta t}\theta \mu \,dt+\sigma e^{\theta t}\,dW_{t}.\,}

En intégrant de 0 à t, on obtient

r t e θ t = r 0 + ∫ 0 t e θ s θ μ d s + ∫ 0 t σ e θ s d W s {\displaystyle r_{t}e^{\theta t}=r_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta s}\,dW_{s}\,}

d'où nous voyons

r t = r 0 e − θ t + μ ( 1 − e − θ t ) + ∫ 0 t σ e θ ( s − t ) d W s . {\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (s-t)}\,dW_{s}.\,}

Ainsi, le premier moment est donné (en supposant que r 0 {\displaystyle r_{0}} est une constante) par :

E ( r t ) = r 0 e − θ t + μ ( 1 − e − θ t ) . {\displaystyle E(r_{t})=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t}).}

s ∧ t = min ( s , t ) {\displaystyle s\wedge t=\min(s,t)} On peut utiliser l'isométrie d'Itō (en) pour calculer la covariance

cov ⁡ ( r s , r t ) = E [ ( r s − E [ r s ] ) ( r t − E [ r t ] ) ] {\displaystyle \operatorname {cov} (r_{s},r_{t})=E[(r_{s}-E[r_{s}])(r_{t}-E[r_{t}])]}
= E [ ∫ 0 s σ e θ ( u − s ) d W u ∫ 0 t σ e θ ( v − t ) d W v ] {\displaystyle =E[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}]}
= σ 2 e − θ ( s + t ) E [ ∫ 0 s e θ u d W u ∫ 0 t e θ v d W v ] {\displaystyle =\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}E[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}]}
= σ 2 2 θ e − θ ( s + t ) ( e 2 θ ( s ∧ t ) − 1 ) . {\displaystyle ={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta (s\wedge t)}-1).\,}

Il est aussi possible (et souvent commode) de représenter r t {\displaystyle r_{t}} (sans condition) en tant que mesure transformée du temps du processus Wiener :

r t = μ + σ 2 θ W ( e 2 θ t ) e − θ t {\displaystyle r_{t}=\mu +{\sigma \over {\sqrt {2\theta }}}W(e^{2\theta t})e^{-\theta t}}

ou avec condition ( r 0 {\displaystyle r_{0}} donné) comme

r t = r 0 e − θ t + μ ( 1 − e − θ t ) + σ 2 θ W ( e 2 θ t − 1 ) e − θ t . {\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+{\sigma \over {\sqrt {2\theta }}}W(e^{2\theta t}-1)e^{-\theta t}.}

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck (un exemple de processus gaussien à variance bornée) admet une distribution de probabilité stationnaire, contrairement au processus de Wiener.

L'intégrale temps de ce processus peut être utilisée pour générer un bruit avec un spectre de puissance 1/f.

Application

Le modèle de Vasicek (en) des taux d'intérêt est un exemple de processus d'Ornstein-Uhlenbeck où les coefficients sont positifs et constants.

Le Processus CIR, le modèle de Cox, Ingersoll et Ross (1985) est une extension du modèle de Vasicek et du processus d'Ornstein-Uhlenbeck qui introduit la racine carrée du taux d'intérêt instantané dans le coefficient du terme stochastique.

Bibliographie

  • (en) Sandra Cerrai et Alessandra Lunardi, « Schauder theorems for Ornstein-Uhlenbeck equations in infinite dimension », Journal of Differential Equations, Elsevier, vol. 267,‎ , p. 7462-7482 (lire en ligne).

Références

  1. ↑ (en) G. E. Uhlenbeck et L. S. Ornstein, « On the Theory of Brownian Motion », Physical Review, vol. 36,‎ , p. 823-841
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ornstein–Uhlenbeck process » (voir la liste des auteurs).
  • icône décorative Portail des mathématiques