Bénéfice de synergie

En microéconomie, le bénéfice de synergie est un avantage global supplémentaire découlant de la décision d’un ensemble d’acteurs de mettre en commun des ressources ou des moyens, de coordonner des actions en visant une même finalité.

Les acteurs peuvent être des secteurs d’activité d’une même entreprise (utilisant des ressources communes), ou des entités économiquement distinctes qui s’organisent au sein d’un partenariat fondé sur des règles admises par tous.

Lorsque les acteurs souhaitent préserver leur indépendance économique, ils sont confrontés à devoir gérer une complexité accrue, contraints de définir et d’accepter les modalités de leur collaboration. Les principaux problèmes concernent la caractérisation quantitative du bénéfice de synergie et la manière de le répartir entre les acteurs : mal résolus, ces problèmes induisent une instabilité de l’alliance qui conduit naturellement à son éclatement.

Fusion d’entreprises

Toute opération de fusion-acquisition d’entreprises ou de rachat de concurrents permet d’engendrer un bénéfice de synergie :

• par l’augmentation des compétences internes,
• par une utilisation plus rationnelle des ressources,
• par la réorganisation des activités (il est possible de faire mieux après qu’avant),
• par les économies d'échelle et la diminution des coûts de production,
• par l’amélioration de la position sur les marchés,
• etc.

En théorie, la fusion est l’approche la plus simple dans le sens où elle élude la question délicate de la répartition du bénéfice de synergie entre les acteurs puisqu’en fin de compte il n’en reste qu’un.

Les cartels et les ententes illicites exploitent également une source de synergie qui se réalise entièrement aux dépens d’autres acteurs, c'est-à-dire les clients.

Achats groupés

Plusieurs petits consommateurs d’un même type de produit groupent leurs demandes individuelles afin de présenter au marché une demande résultante. Par exemple :

• Combustible de chauffage : en passant une commande unique, divers propriétaires localisés dans un même quartier obtiennent un prix plus intéressant (rabais de quantité).
• Produits financiers : divers petits épargnants placent leurs actifs financiers dans un fonds de placement leur permettant d’acquérir ensemble un portefeuille plus richement diversifié, une réduction des coûts de transaction et une gestion centralisée des risques.

Définition de la stabilité d’une répartition

Pour caractériser un mode de répartition du bénéfice de synergie obtenu au sein de l’alliance d’un ensemble d’acteurs, un critère de stabilité peut être formulé de la manière suivante :

Ce critère est satisfait lorsque, pour tout sous-groupe donné, le bénéfice de synergie global issu des seuls membres du sous-groupe n’est pas supérieur à la somme des bénéfices que ses membres obtiendraient en restant au sein de l’alliance initiale. La stabilité ainsi définie s’apparente à un optimum de Pareto local. Cependant, l’alliance est menacée dès l’existence d’un sous-groupe particulier ne satisfaisant pas cette propriété.

En particulier, pour qu’un tel mode de répartition existe, il est nécessaire que le bénéfice de synergie total n’augmente pas lorsqu’un acteur quitte l’alliance. Cette condition n’implique cependant pas que la contribution spécifique d’un acteur donné soit nécessairement favorable à chacun des autres.

Répartition d’une ressource limitée

Un ensemble de partenaires se partagent une ressource quantitativement limitée conformément à leurs parts respectives qui sont supposées être légalement établies. Par exemple :

• Un ensemble de surfaces agricoles appartenant respectivement à des propriétaires éleveurs de bétail.
• Une ressource en eau qui est répartie en parts prédéfinies entre des sociétés indépendantes assurant respectivement la consommation publique, l’irrigation et la production hydroélectrique.

D’un commun accord et dans un esprit de collaboration, les partenaires peuvent décider de modifier temporairement les parts légales dans le but de retirer un revenu globalement supérieur à celui dont ils bénéficieraient autrement : cet accroissement de revenu est le bénéfice de synergie de l’ensemble.

Bien que l’incidence économique des nouvelles parts momentanément attribuées soit favorable à l’ensemble, ce ne sera sans doute pas le cas pour chacun ; il est donc essentiel d’établir de règles précises de compensation des revenus individuels afin que chacun retrouve finalement un intérêt tangible dans l’opération : ces règles doivent permettre à chaque partenaire de bénéficier au minimum du revenu qu’il obtiendrait hors alliance, auquel s’ajoutera une part du bénéfice de synergie qui soit en rapport avec sa propre contribution à ce dernier.

Mode de répartition stable

Considérons ${\displaystyle m}$ acteurs se partageant une ressource limitée. Supposons que chacun d’eux soit en mesure d’élaborer une fonction décrivant l’avantage (on parlera ici de revenu) que leur procurerait une part (variable) de la ressource dont il disposerait en propre au sein d’une alliance, ceci durant une période limitée et la même pour tous. Supposons également que chaque acteur valide l’objectivité des fonctions des autres.

Propriétés naturelles des fonctions de revenu :

• Chaque % de ressource supplémentaire accordée à un acteur lui apporte généralement une augmentation de son revenu : c’est une propriété de croissance de la fonction. Il est possible, bien que ce soit peu fréquent, qu’à partir d’une quantité de ressource très élevée, la fonction se mette à décroître : « trop c’est trop » et l’acteur doit payer pour détruire un excédent de ressource dont il ne sait plus que faire.
• À chaque % de ressource supplémentaire accordée à un acteur, l’augmentation de son revenu s’atténue au fur et à mesure que sa part augmente : c’est une propriété de concavité de la fonction (l’allure de la fonction a la forme d’un « bol renversé » : tout segment dont les extrémités se situent sur le graphe se trouve intégralement « au-dessous » du graphe).

Considérons les notations et hypothèses suivantes :

• ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$ est la part contractuelle de l’acteur ${\displaystyle i}$ comprise entre 0 et 1,
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\hat {p}}_{i}=1}$ indique que la totalité de la ressource est distribuée,
• ${\displaystyle \displaystyle f_{i}(p_{i})}$ désigne la fonction de revenu dépendant de la part ${\displaystyle \displaystyle p_{i}}$ (inconnue comprise entre 0 et 1),
• ${\displaystyle f_{i}({\hat {p}}_{i})}$ est le profit de l’acteur ${\displaystyle i}$ découlant de sa part contractuelle.

La maximisation du profit total s’obtient en résolvant le problème suivant :

Trouver les inconnues ${\displaystyle \displaystyle p_{i}}$ satisfaisant ${\displaystyle 0\leqslant p_{i}\leqslant 1}$ qui maximisent

${\displaystyle \Phi ({\vec {p}})=\sum _{i=1}^{m}f_{i}(p_{i})}$

sous la contrainte

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1}$.

Puisque les parts contractuelles ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$ sont des candidats admissibles, le profit total obtenu indépendamment par les acteurs ${\displaystyle {\hat {\Phi }}=\sum _{i=1}^{m}f_{i}({\hat {p}}_{i})}$ est inférieur ou égal au profit maximal ${\displaystyle \displaystyle \Phi _{max}}$, valeur définie comme le maximum des ${\displaystyle \Phi ({\vec {p}})}$ sous respect des contraintes.

Le bénéfice global de synergie est alors la différence ${\displaystyle \Phi _{max}-{\hat {\Phi }}}$.

L’hypothèse de concavité des fonctions permet d’assurer que ce problème admet toujours une solution et qu’il existe des méthodes simples et robustes permettant de la déterminer numériquement.

En particulier, il existe un scalaire ${\displaystyle \displaystyle \lambda }$ (multiplicateur de Lagrange de la contrainte ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1}$) correspondant au revenu marginal de l’ensemble des acteurs par rapport à la quantité de ressource totale disponible (s’il était possible d’augmenter la ressource totale de 1 %, alors le revenu total de l’alliance augmenterait d’environ ${\displaystyle \displaystyle 0.01\lambda }$).

Le mode de répartition suivant est stable au sens de la définition qui est donnée plus haut :

• Au lieu d’exploiter sa part contractuelle ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$, l’acteur ${\displaystyle i}$ se voit attribuer la part ${\displaystyle \displaystyle p_{i}}$ qui est la solution du problème précédent. À ce stade, la totalité de la ressource disponible est bien répartie entre les acteurs.
• Afin de compenser l’écart de part de l’acteur ${\displaystyle i}$, il échange avec un « pot commun » le montant ${\displaystyle M_{i}=\lambda (p_{i}-{\hat {p}}_{i})}$ qui doit être versé si ${\displaystyle \displaystyle M_{i}>0}$ ou retiré du pot si ${\displaystyle \displaystyle M_{i}<0}$.
• Puisque ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\hat {p}}_{i}=\sum _{i=1}^{m}p_{i}=1}$, la somme algébrique des échanges avec le pot commun est nulle.

Avec ce mode de répartition, le profit de l’acteur ${\displaystyle i}$ atteint en fin de compte le montant

${\displaystyle S_{i}=f_{i}(p_{i})+\lambda ({\hat {p}}_{i}-p_{i}).}$

On vérifie que ce nouveau profit ne peut pas être inférieur au profit ${\displaystyle f_{i}({\hat {p}}_{i})}$ obtenu hors alliance avec la part contractuelle. Graphiquement, la droite de pente ${\displaystyle \displaystyle \lambda }$ passant par le point ${\displaystyle (p_{i},\,f_{i}(p_{i}))}$ est une tangente à la courbe en ce point. Par concavité, cette tangente est située « au-dessus » du graphe de la fonction.

Le bénéfice de synergie qui revient en propre à l’acteur ${\displaystyle i}$, (c'est-à-dire son intérêt économique à participer à l’alliance) est alors la différence d’ordonnées entre la tangente et la fonction calculée à l’abscisse ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$.

Synergie de financements

Tel que décrit ci-dessus, le mode de répartition d’une ressource limitée s’applique à d’autres domaines, en particulier celui de l’emprunt et du financement.

Il est économiquement naturel que, plus le montant emprunté par un acteur augmente (toute chose étant égale par ailleurs), plus le coût (ou le taux d’intérêt) augmente. Au niveau de l’entreprise, le rendement espéré des obligations reste inférieur à celui des actions, la raison sous-jacente étant la nature différente des risques en cas de défaut de l’émetteur.

En d’autres termes, chaque tranche d’emprunt supplémentaire devrait théoriquement coûter un peu plus cher que les tranches précédentes : le taux marginal est croissant. Ainsi, la fonction qui, à un montant total emprunté par un acteur, associe le coût (annuel) satisfait une propriété de convexité.

Sur la base de ce constat, plusieurs acteurs peuvent envisager un partenariat au sein duquel les emprunts sont centralisés, ceci afin de réaliser un bénéfice de synergie sur le coût total du capital. Le mécanisme d’une répartition stable de ce bénéfice est en tout point semblable à celui développé ci-dessus : il suffit de changer le signe de la fonction convexe de coût du capital pour obtenir une fonction concave de profit.

Une telle approche se différencie très significativement d’une simple mutualisation des dettes respectives et des risques associés : en effet, chaque acteur trouvera un avantage réel au sein du partenariat et ne sera surtout pas contraint de se financer aux conditions moyennes de l’ensemble (ce qui serait à l’évidence une approche totalement instable).

Application aux dettes nationales des membres de l’UE

Au sein de l’UE, les mêmes considérations permettent d’affirmer que la somme des coûts des dettes nationales (contractées isolément) excède le coût de la dette totale acquise de manière centralisée par la BCE au nom de ses membres.

Il y aurait ainsi un intérêt tangible à mettre en œuvre un tel mécanisme car il apporte une contribution significative à la résolution du problème de la crise de la dette. Ne pas exploiter ce bénéfice de synergie revient simplement à prélever ce même montant des fonds publics pour en faire cadeau aux marchés financiers.

Dans ce contexte, les bases d’un partenariat consistent à :

• substituer les dettes nationales par des Euro-obligations,
• évaluer consensuellement chacun des coûts spécifiques des dettes nationales (taux moyens estimés des emprunts en fonction du montant de la dette),
• quantifier le bénéfice de synergie ainsi dégagé,
• le répartir entre tous les membres de manière « appropriée ».

En pratique, chaque membre ${\displaystyle i}$ de l’UE élabore en accord avec les autres une courbe ${\displaystyle f_{i}(d_{i})}$ caractérisant le plus objectivement possible le coût annuel d’une dette ${\displaystyle d_{i}}$ qui, à ce stade, reste un paramètre. Ces fonctions tiennent compte de nombreuses spécificités propres (tels le PIB, la capacité de l’état à couvrir ses dépenses et les mesures prises pour y parvenir, les taux de chômage et de croissance, les fonds publics du patrimoine, etc). Bien que la tâche ne soit pas aisée, il est sans doute plus facile de trouver un compromis sur les profils de ces courbes que de convaincre les « bons élèves » à payer pour les autres.

Partant de ces fonctions et des dettes effectives ${\displaystyle {\hat {d}}_{i}}$, il s’agit de résoudre le problème suivant :

Trouver les inconnues ${\displaystyle d_{i}\geqslant 0}$ qui minimisent

${\displaystyle \Psi ({\vec {d}})=\sum _{i=1}^{m}f_{i}(d_{i})}$

sous la contrainte

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}d_{i}=\sum _{i=1}^{m}{\hat {d}}_{i}}$.

En particulier, la solution permet d’évaluer le scalaire ${\displaystyle \displaystyle \lambda }$ (multiplicateur de Lagrange de la contrainte) correspondant au coût marginal de la fonction objectif par rapport au membre de droite de la contrainte. ${\displaystyle \displaystyle \lambda }$ permet finalement de déterminer le coût total à payer par chacun des membres pour le financement de sa propre dette, soit

${\displaystyle M_{i}=f_{i}(d_{i})+\lambda ({\hat {d}}_{i}-d_{i})}$

(dont la somme atteint l’optimum de la fonction objectif ${\displaystyle \Psi _{min})}$.

Si les fonctions ${\displaystyle f_{i}(d_{i})}$ correspondent à la perception des marchés, le montant ${\displaystyle \Psi _{min}}$ devrait correspondre au coût effectif du financement total. S’il subsiste un écart, il convient d’adapter « uniformément » les fonctions des membres afin de résorber la différence.

Dans ce mécanisme, chaque membre perçoit un avantage d’autant plus élevé que le coût marginal de sa propre dette s’écarte du coût marginal ${\displaystyle \displaystyle \lambda }$ de l’ensemble. Les seuls qui ne retirent qu’un faible avantage sont ceux dont la dette effective reste proche de la dette de la solution (${\displaystyle {\hat {d}}_{i}\simeq d_{i}}$). Le bénéfice de synergie est alors principalement distribué entre les membres qui y contribuent, c'est-à-dire les « bons » et aux « mauvais » élèves.

Synergie entre les risques

Dans le domaine de la gestion des risques et des effets indésirables provoqués par les aléas, il existe souvent au sein d’un groupe d’acteurs un gisement de synergie qui est peu ou imparfaitement exploité.

Assurance risque

Pour faire face aux catastrophes, les compagnies d’assurances ont développé des mécanismes de mutualisation des risques comme le feu, les risques naturels, la santé, la responsabilité civile, etc. Les clients qui signent un tel contrat préfèrent verser une prime annuelle au lieu d’assumer seuls la probabilité d’un sinistre. Ils estiment ainsi bénéficier d’une part du bénéfice de synergie, même si une partie de ce dernier reste entre les mains de l’assureur.

Il convient de rappeler que le bénéfice de synergie ne se manifeste pas ici en termes d’amélioration de l’espérance de profit : au contraire, l’espérance de coût augmente pour celui qui contracte une police d’assurance, ne serait-ce que pour verser les marges de l’assureur. Par contre, le bénéfice du client se mesure par une augmentation de son utilité, ou plus simplement du bien-être engendré par sa sécurité.

Produit dérivé

Dans le domaine de la finance, les produits dérivés permettent de transférer des risques (relatifs à une évolution des prix futurs) entre un agent qui y est sensible et un autre moins vulnérable. Il s’agit bien ici d’une forme spécifique de cogestion des risques par exploitation d’une synergie particulière entre divers acteurs du marché.

Synergie entre les aléas de résultats

Nombre d’entreprises sont plus ou moins vulnérables à certains phénomènes externes ou exogènes qui influencent leurs résultats financiers et volatilisent les bénéfices ; ces aléas exercent simultanément un effet néfaste sur le coût du capital. Pour y faire face, les entreprises cherchent à diversifier leurs activités. Dans le domaine des aléas météorologiques, un vendeur de parapluies et un vendeur de crèmes solaires constituent un exemple académique qui, malgré sa naïveté, illustre assez bien le problème.

Lorsque les entreprises subissent des effets qui sont essentiellement en opposition les uns aux autres, il est évident que la création d’un partenariat apporte un avantage global. Il est moins intuitif de vérifier la validité de l’assertion précédente lorsque les effets sont statistiquement indépendants, et même lorsqu’ils sont corrélés positivement, c'est-à-dire s’ils ont une propension à s’orienter dans le même sens.

L’intérêt réside moins dans un transfert de risques (typiques des produits dérivés) que dans une mise en commun conduisant à une atténuation ou une dilution des aléas individuels.

Au sein d’un partenariat, les membres sont incités à mettre en œuvre un mécanisme de compensation des aléas dans le but de régulariser leurs résultats respectifs et de réduire les fluctuations des bénéfices. Le bénéfice de synergie ne se manifeste donc pas par une augmentation de l’espérance des résultats respectifs, mais par une réduction de leurs variabilités (ou de leur écarts types).

Mécanisme naturel

Description d’un mécanisme particulier qui, par son mode de répartition, peut être qualifié de « naturel » :

• Choix d’une période commune à tous : ce sont par exemple les bénéfices annuels qui sont visés et le processus de compensation est ainsi mis en œuvre chaque année.
• Choix des variables spécifiques : chaque partenaire ${\displaystyle i}$ détermine une variable aléatoire « objective » ${\displaystyle x_{i}}$ d’espérance nulle expliquant au mieux les écarts de son bénéfice noté ${\displaystyle b_{i}}$ ; en d’autres termes, la variable ${\displaystyle x_{i}}$ est choisie de sorte à minimiser l’écart type de la différence, soit ${\displaystyle \sigma (b_{i}-x_{i})}$ (ce qui nécessite une corrélation positive entre les deux variables).
• Acceptation par tous les partenaires des variables choisies et des modalités de la répartition finale.
• Répartition finale : en fin de période, lorsque les réalisations ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$ des variables ${\displaystyle x_{i}}$ sont connues de tous, les partenaires exploitent un « pot commun » dans lequel chacun verse (ou retire) le montant ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$, puis le solde du pot (qui peut être négatif) est finalement réparti entre tous en proportion des écarts types ${\displaystyle \sigma (x_{i})}$ respectifs.

Conditions pratiques requises pour la mise en œuvre de ce mécanisme :

• Les variables choisies doivent être objectives : leurs valeurs passées sont connues de tous et aucun partenaire ne doit pouvoir, de quelque façon que ce soit, influencer les réalisations du futur.
• Chacun doit pouvoir constater que les espérances des variables sont nulles (il suffit de retrancher les valeurs espérées).
• Les écarts types de chaque variable et de la somme doivent pouvoir être quantifiés.

Ces conditions sont satisfaites lorsque les variables choisies sont, par exemple, des combinaisons de variables météorologiques dont les paramètres statistiques et les réalisations sont publiés par des services officiels. Il est également possible d’envisager des variables s’exprimant comme des fonctions d’une ou de plusieurs variables : c’est une approche pertinente pour un producteur agricole dont la récolte est sensible à la fois à un excès et à un manque de précipitation.

Ce mécanisme assure à chacun une réduction de sa variabilité. Plus précisément, la variabilité initiale du partenaire ${\displaystyle i}$ caractérisée par ${\displaystyle \displaystyle \sigma (x_{i})}$ diminue d’un certain facteur, la variabilité finale atteignant ${\displaystyle F\,\sigma (x_{i})}$ où ${\displaystyle \displaystyle F}$ est défini par

${\displaystyle F={\frac {\sigma (\sum _{i}x_{i})}{\sum _{i}\sigma (x_{i})}}\leqslant 1.}$

Note : l’inégalité ${\displaystyle F\leqslant 1}$ découle de l’inégalité triangulaire qui se vérifie pour l’écart type.

Dans la situation particulière où ${\displaystyle F=1}$, chaque partenaire retire du pot un montant identique à celui qu’il a versé et il n’y a en fin de compte aucun échange. Elle se produit uniquement dans le cas où toutes les variables ${\displaystyle x_{i}}$ sont identiques à un coefficient multiplicatif positif près (coefficient de corrélation égal à 1 pour tout couple). Dans ce cas, il n’y a évidemment aucun bénéfice de synergie possible sur la variabilité, et aucun avantage à retirer d’un partenariat.

Il est facile de vérifier que ce mode de répartition du pot en proportion des ${\displaystyle \sigma (x_{i})}$ peut parfois inciter économiquement un sous-groupe à se séparer de l’ensemble : la stabilité du mécanisme naturel n’est pas assurée dans toutes les situations. Il est d’ailleurs très fréquent de constater l’instabilité de ce mécanisme, ceci d’autant plus que le nombre de partenaires est élevé.

Mécanisme général

Sans changer les principes de sa mise en œuvre, le mécanisme naturel précédent peut être adapté en modifiant uniquement les poids prédéfinis qui fixent la répartition du pot entre les partenaires. Ces poids ne peuvent être définis qu’en fonction des seules caractéristiques statistiques des variables ${\displaystyle \displaystyle x_{i}}$ (comme c’est le cas avec le mécanisme naturel).

Dans une formulation linéaire générale basé sur des poids ${\displaystyle \displaystyle p_{i}}$ dont la somme est égale à 1, le processus permet au partenaire ${\displaystyle i}$ de transformer son écart réalisé ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$ en un écart effectif ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}}$ défini par

${\displaystyle {\bar {y}}_{i}=p_{i}\sum _{j}{\bar {x}}_{j}}$

La détermination des poids nécessite la connaissance de la matrice de covariance des ${\displaystyle \displaystyle x_{i}}$ ou, ce qui revient au même, la connaissance de l’écart type de toute somme partielle des ${\displaystyle \displaystyle x_{i}}$.

Problématique de la stabilité

Dans le cadre du mécanisme général, une question importante est la détermination d’une pondération assurant la stabilité du processus de répartition et, le cas échéant, la caractérisation des conditions sous quelles il est possible d’assurer l’existence d’une telle pondération.

Pour la répartition d’un bénéfice de synergie, la question de la stabilité ne se présente pas de la même manière lorsqu’il s’agit de profits ou de risques ; en effet, le caractère additif du premier type de synergie ne se vérifie pas dans le second.

Considérons ${\displaystyle m}$ partenaires dont chacun a choisi sa propre variable ${\displaystyle \displaystyle x_{i}}$. Notons ${\displaystyle \displaystyle x}$ la somme des ${\displaystyle \displaystyle x_{i}}$ qui est l’allocation totale du pot à répartir entre les partenaires ; notons encore ${\displaystyle \displaystyle (x_{i},x_{j})}$ la covariance des deux variables.

Sous certaines hypothèses (qui ne sont de loin pas respectées dans toutes les situations), la propriété suivante donne une solution aisée à déterminer :

Cette propriété ne s’applique ainsi qu’aux situations où les corrélations respectives entre les variables des acteurs et leur somme sont positives : ce ne sont donc pas les meilleures conditions pour générer une synergie élevée entre les risques.

En pratique et pour une situation donnée, on peut résumer de la manière suivante le processus de recherche d’une pondération opérationnelle :

• Si ${\displaystyle \sigma (x)=0}$, les poids ne jouent pas de rôle : c’est une situation idéale qui est parfaitement stable.
• Dans la situation où ${\displaystyle (x_{i},x)\geqslant 0\;\forall i}$, la propriété ci-dessus fournit une pondération stable.
• Avec deux partenaires, il existe toujours une pondération stable :
  • La situation respectant les hypothèses de la propriété précédente.
  • Le cas contraire où l’un des partenaires (disons le premier) satisfait ${\displaystyle \displaystyle (x_{1},x)<0}$ et l’autre nécessairement ${\displaystyle \displaystyle (x_{2},x)>0}$ : on pose alors ${\displaystyle \displaystyle p_{1}=0}$ et ${\displaystyle \displaystyle p_{2}=1}$ qui est une solution stable apportant un avantage réel à chacun des deux partenaires.
• Dans toute situation, il est possible de formuler un problème dont la solution fournit une pondération stable lorsqu’il en existe une.

• Lorsqu’il n’existe pas de pondération stable, le partenariat risque tôt ou tard d’éclater, ceci quel que soit le mécanisme linéaire de répartition du pot. Pour y remédier, une solution consiste à trouver d’autres partenaires supplémentaires dont les variables contribuent à augmenter la synergie de l’ensemble, ou encore éventuellement d’exclure certains partenaires qui y contribuent peu. D’autres approches envisageables ne résolvent qu’imparfaitement le problème de stabilité :

1. Répartition hiérarchique : extraction de certains sous-groupes constitués de partenaires bénéficiant à l’interne d’une synergie élevée (typiquement les sous-groupes incités à quitter le partenariat) ; chaque tel sous-groupe établit ses propres règles de partenariat et de répartition (stable) ; chaque sous-groupe ainsi constitué se comporte comme un partenaire au sein d’un partenariat de niveau supérieur.
2. Séparation des partenaires en deux groupes : le groupe ${\displaystyle \displaystyle a}$ constitué de ceux qui satisfont ${\displaystyle (x_{i},x)\geqslant 0}$ et le groupe ${\displaystyle \displaystyle b}$ constitué des autres. Les poids sont alors définis de la manière suivante :

${\displaystyle q_{i}={\frac {(x_{i},x)}{\sigma ^{2}(x)}}\quad \forall i\in a,}$

${\displaystyle p_{i}={\frac {q_{i}}{\sum _{j\in a}q_{j}}}\quad \forall i\in a,}$

${\displaystyle p_{i}=0\quad \forall i\in b.}$

Avec ces pondérations, la stabilité de la répartition est assurée au sein de chacun des deux sous-groupes. Les seuls problèmes concernent les incitations à se séparer pour un ensemble de partenaires appartenant collectivement aux deux sous-groupes ; cependant, puisque les partenaires appartenant au groupe ${\displaystyle \displaystyle b}$ ont pu éliminer la totalité de leur variabilité, il faudrait leur proposer un avantage supplémentaire pour qu’ils acceptent de se regrouper avec d’autres partenaires du groupe ${\displaystyle \displaystyle a}$.

Dans la situation toujours instable présentée comme premier exemple pour le mécanisme naturel, à savoir 3 partenaires dont les variables respectives ${\displaystyle x_{i}}$ et le total ${\displaystyle x}$ sont les mêmes au signe près (${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-x_{3}=x}$), la séparation en deux groupes implique ${\displaystyle a=\{1,2\}}$, ${\displaystyle q_{1}=q_{2}=1}$, ${\displaystyle p_{3}=0}$ et ${\displaystyle p_{1}=p_{2}=0.5}$. Ainsi, le 3^e partenaire (qui est le seul à produire un bénéfice de synergie) se libère totalement de sa variabilité et les deux autres se partagent le pot à parts égales. Il semble évident que cette solution, bien qu’instable, reste la moins risquée pour le partenariat.

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