Équation intégro-différentielle

En analyse fonctionnelle, une équation intégro-différentielle ou équation intégrodifférentielle est une équation qui fait intervenir à la fois les dérivées d'une fonction et ses intégrales.

Forme générale

Une équation intégro-différentielle du premier ordre peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,\mathrm {d} t=g(x,u(x)).}$

La résolution exacte d'une telle équation est souvent difficile et passe souvent par l'utilisation des transformations (transformation de Laplace, Fourier…)

Exemples

En astrophysique, l'équation de Schwarzschild-Milne, qui décrit la diffusion de la lumière dans les atmosphère stellaires, est intégro-différentielle.

En économie, la représentation de Lévy-Khintchine d'un processus de Lévy se base sur une équation intégro-différentielle.

Références

• Vito Volterra, « Sur les équations intégro-différentielles et leurs intégrations », dans Acta Mathematica, vol. 35, Rome, 1912

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