Satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttuja^[1] eli stokastinen muuttuja^[2] on todennäköisyyslaskennan peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää lukua. Jos tunnetaan satunnaismuuttujan taustalla olevan satunnaisilmiön perusjoukko, on satunnaismuuttuja funktio, joka liittää jokaiseen perusjoukon alkeistapaukseen ${\displaystyle \omega }$ reaaliluvun. Funktion ${\displaystyle X(\omega )}$ tulee kuitenkin olla mitallinen funktio. Yleensä satunnaismuuttujan merkinnästä jätetään argumentti ${\displaystyle \omega }$ merkitsemättä eli kirjoitetaan ${\displaystyle X(\omega )=X}$.^[1][3][4][5]

Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreetti tai jatkuva. Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta, ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreetti) tai painona (jatkuva). Satunnaismuuttujan laskemistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole pelkästään toista tyyppiä, kutsutaan sekatyyppisiksi.^[3]

Sana satunnaismuuttuja lyhennetään joskus s.m.. Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttujaa on käyttää suuria aakkosia (esimerkiksi ${\displaystyle X}$). Toisinaan näkee myös alleviivattuja pieniä kirjaimia (esimerkiksi ${\displaystyle {\underline {x}}}$) tai lihavoituja pieniä kirjaimia (kuten x). Kun viitataan satunnaismuuttujan arvoon, merkitään se esimerkiksi ${\displaystyle X=3}$.^[2][6]

Esimerkkejä satunnaismuuttujista

Diskreetit satunnaismuuttujat

Pääartikkeli: Diskreetti satunnaismuuttuja

Alkeistapaukset voidaan koodata satunnaismuuttujiksi käyttämällä yksinkertaisia funktioita. Lantinheitossa perusjoukko on ${\displaystyle \Omega =\{kruuna,klaava\}}$, ja siitä voidaan luoda satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ määrittelemällä esimerkiksi:

${\displaystyle X(\omega )={\begin{cases}+1,&{\mbox{jos }}\omega {\mbox{ on kruuna}}\\-1,&{\mbox{jos }}\omega {\mbox{ on klaava}}\end{cases}}}$

Toisessa esimerkissä kahden nopan heitossa tulokseksi halutaan molemman nopan silmälukujen summa. Silloin perusjoukon alkeistapaukset muodostuvat noppien silmälukupareista ${\displaystyle (m,n),}$ joista muodostetaan satunnaismuuttuja ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle \{(m,n)\in \Omega |Y(m,n)=m+n\}.}$ Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin ${\displaystyle \{2,3,4,...,12\}.}$ Nämä esimerkit olivat yksinkertaisia satunnaismuuttujia, koska perusjoukko oli kooltaan äärellinen.^[2]

Seuraava satunnaismuuttuja muodostuu tapauksista, joita voi olla numeroituvasti ääretön määrä. Heitetään kolikkoa, kunnes saadaan ensimmäisen kerran kruuna. Jos kruuna saadaan heti, merkitään satunnaismuuttujan ${\displaystyle Z}$ arvoksi nolla. Jos saadaan aluksi klaava ja sitten kruuna, merkitään satunnaismuuttujan arvoksi yksi. Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin ${\displaystyle Z=\{0,1,2,3,...\}.}$

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Pääartikkeli: Jatkuva satunnaismuuttuja

Esimerkiksi tikanheitto voidaan tulkita jatkuvaksi satunnaisilmiöksi, sillä jokainen osuma seinään ja tauluun voidaan tulkita x-koordinaatiston pisteeksi ${\displaystyle (x,y)\in \Omega }$. Tason pisteitä on nyt ylinumeroituvasti ääretön määrä, ja samoin on myös satunnaismuuttujan arvoja. Jos määritellään satunnaismuuttuja ${\displaystyle D}$ siten, että ${\displaystyle D(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$ kun origo on napakympissä, saadaan Borel-joukko niistä ${\displaystyle d}$-säteisistä ympyrälevyistä, missä ${\displaystyle \{D\leq d\}=\{(x,y)\in \Omega |D(x,y)\leq d\}.}$ Satunnaismuuttuja saa silloin arvot ${\displaystyle [0,\infty ).}$ ^[2]

Satunnaismuuttuja saa yleensä arvot suljetulta väliltä ${\displaystyle [a,b]}$, puoliavoimelta väleiltä ${\displaystyle [a,b)}$ tai ${\displaystyle (a,b]}$ taikka avoimelta väliltä ${\displaystyle (a,b)}$, missä rajat ovat äärellisiä tai äärettömiä.^[7]

Matemaattinen määritelmä

Satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ on mitallinen funktio ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$, missä määrittelyjoukko ${\displaystyle \Omega }$ on todennäköisyyslaskennassa käytettävä perusjoukko, ja funktion arvojoukkona ovat reaaliluvut. Jos siis alkeistapaus ${\displaystyle \omega }$ oletetaan valituksi, on satunnaismuuttujan arvo ${\displaystyle X(\omega )}$ yksikäsitteisesti määritelty, joten siinä mielessä se ei ole "satunnainen" eikä "muuttuja". Kuvauksen arvojoukko (eli kuva) voi olla reaalilukujen osajoukko ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} }$. Satunnaismuuttujan kuvaus yksittäisillä alkeistapauksen tai tapahtuman arvoilla on silloin ${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\in M\}.}$ Alkeistapaus tai tapahtuma voidaan ilmaista tämän käänteiskuvauksena ${\displaystyle X^{-1}(M).}$^[3][8]

Funktio tulee olla mittallinen eli ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-mitallinen kuvaus. Tämä tarkoittaa sitä, että jokaisen perusjoukon osajoukko kuuluu sigma-algebraan ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Vain silloin ${\displaystyle X^{-1}(M)}$ on varmasti tapahtuma eli ${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\in M\}\in {\mathcal {F}}}$, joka kuuluu aina Borel-joukkoon.^[3][8]

Satunnaismuuttujaa on määritelty myös siten, että se on mitallinen funktio todennäköisyysavaruudesta ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ mitta-avaruuteen ${\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {F}}').}$ ^[4][9]

Todennäköisyysjakauma

Pääartikkeli: Todennäköisyysjakauma

Todennäköisyysjakauma, usein yksinkertaisesti vain jakauma, määrittelee satunnaismuuttujien arvojen esiintymistodennäköisyydet ja samalla sen käyttäytymisen oleellisimman piirteen. Satunnaismuuttujat luokitellaankin niiden todennäköisyysjakaumiensa mukaisesti eri tyyppeihin. Jakauma voidaan määritellä kahdella eri tavalla: todennäköisyys- eli tiheysfunktiolla tai kertymä- eli jakaumafunktiolla. Eri tavat ovat hyödyllisiä eri tilanteissa, mutta kummastakin funktiosta voidaan johtaa kaikki satunnaismuuttujan ominaisuudet. Jakaumien rakenteet eroavat toisistaan myös sen mukaan, onko satunnaismuuttuja diskreetti vai jatkuva.

Todennäköisyysfunktiot

Todennäköisyysfunktiot ovat diskreetillä ja jatkuvalla satunnaismuuttujilla varsin erilaiset.

Diskreetit satunnaismuuttujat

Diskreettien satunnaismuuttujien jakauma on luettelo, jossa jokaiseen satunnaismuuttujan arvoon ${\displaystyle X=x_{i}}$ liitetään todennäköisyyden arvo ${\displaystyle p_{i}}$. Usein käytetty merkintätapa on

${\displaystyle P(X=x_{i})=p_{i}.}$

Diskreettien satunnaismuuttujien todennäköisyyksiä kutsutaan myös pistetodennäköisyyksiksi.^[6][10]

Esimerkiksi kahden nopan heitossa, jossa satunnaismuuttujana on noppien silmälukujen summa, saadaan satunnaismuuttujan arvojen perusjoukoksi ${\displaystyle \{2,3,4,5,...,10,11,12\}.}$ Kuten oheisesta kuvaajasta voi nähdä, noudattavat seuraavat pistetodennäköisyydet sen todennäköisyysjakaumaa: ${\displaystyle P(X=2)\,=P(X=12)={\frac {1}{36}}}$ ja ${\displaystyle P(X=7)={\frac {1}{6}}.}$^[10]

Todennäköisyysjakauman todennäköisyyksien summa

${\displaystyle \Sigma p_{i}=1}$

tulee aina olla yksi.^[10]

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvien satunnaismuuttujien todennäköisyysfunktio on tiheysfunktio ${\displaystyle f(x)}$ (joskus ${\displaystyle \phi (x)}$), joka saa satunnaismuuttujan arvoalueella vain positiivisia arvoja. Muualla sen arvo on nolla. Se ei siis voi saada missään negatiivisia arvoja.^[7][11]

Tiheysfunktion arvot eivät ole todennäköisyyksiä. Jatkuvan satunnaismuuttujan arvot ovat reaalilukuja, joita on yleensä ylinumeroituvasti ääretön lukumäärä. Usein tulkitaankin, että yksittäisen alkeistapauksen satunnaismuuttujan arvon esiintymistodennäköisyys on nolla. Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa. Satunnaismuuttuja antaa tulokseksi joitakin arvoja, joten todennäköisyys voi olla nolla, vaikka tapahtuma olisi teoreettisesti mahdollinen.

Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyksiä lasketaan vain tapahtumille, jotka ovat satunnaismuuttujan arvojen lukuvälejä ${\displaystyle [a,b]}$. Jos ${\displaystyle b>a}$ , tapahtuman lukuvälissä on ylinumeroituvasti ääretön määrä alkeistapauksia, joiden yhteenlaskettu todennäköisyys on äärellinen. Tällä lukuvälillä ${\displaystyle [a,b]}$ määritetty tiheysfunktion määrätty integraali onkin todennäköisyyttä merkitsevä numeerinen arvo:

${\displaystyle P(a<X<b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Koko tiheysfunktion yli otettu määrätty integraali on aina arvoltaan yksi, eli

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1,}$

koska sille välille jäävät kaikki alkeistapaukset.

Kertymäfunktiot

Kertymäfunktio eli jakaumafunktio ${\displaystyle F(x)}$ määritellään siten, ettei määrättyä integrointia enää tarvita todennäköisyyksiä laskettaessa. On olemassa useita erilaisia kertymäfunktion määrittelytapoja. Yleisin on kuitenkin määrittää todennäköisyys tapahtumalle, joka sisältää kaikki alkeistapaukset vasemmalta päin päätearvoon ${\displaystyle x}$ asti. Sekä diskreeteille että jatkuville satunnaismuuttujille tämä tarkoittaa ^[6][11][12]

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.}$

Todennäköisyys tapahtumalle ${\displaystyle [a,b]}$ on silloin laskettavissa ilman määrättyä integrointia

${\displaystyle P(a<X<b)=F(b)-F(a).}$

Kertymäfunktiot ovat kasvavia funktioita, jotka saavat vain arvot

${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}$.

Diskreeteillä satunnaismuuttujilla kertymäfunktiot ovat porrasfunktioita, jotka kasvavat joka "portaalla". Jatkuvien satunnaismuuttujien kertymäfunktiot ovat nimensä mukaisesti jatkuvia, ja niissä diskreettien satunnaismuuttujien kertymäfunktioille ominaista porrasrakennetta ei esiinny. Jos kertymäfunktio on derivoituva, saadaan sen derivaatasta tiheysfunktio

${\displaystyle f(x)={\frac {d\,F(x)}{dx}}.}$

Tunnusluvut eli momentit

Pääartikkeli: Momentti

Satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumat riippuvat yleensä vain muutamista parametreista, joilla on usein jokin käytännön merkitys. Esimerkiksi monissa jakaumissa tulee tietää vain sen "keskiarvo". Tämä parametri tunnetaan matematiikassa odotusarvona (merkitään ${\displaystyle E(X)}$), jotka toisinaan kutsutaan ensimmäiseksi momentiksi. Muita parametrejä voivat olla esimerkiksi varianssi (merkitään ${\displaystyle Var(X)}$, toinen momentti) tai vinous (kolmas momentti). Jakauman tarvitsemia parametreja on muitakin, mutta ne vaihtelevat jakaumittain.^[13][6][11]

Katso myös

• Satunnaisilmiö
• Alkeistapaus
• Tapahtuma
• Perusjoukko
• Tiheysfunktio
• Kertymäfunktio
• Todennäköisyys
• Todennäköisyysfunktio
• Todennäköisyysjakauma

Lähteet