Hyperbolinen sektori

Hyperbolinen sektori on karteesisen tason ${\displaystyle {(x,y)}}$ alue, jota rajoittavat origosta pisteisiin (a, 1/a) ja ''b, 1/b) piirretyt janat sekä hyperbeli xy = 1 tai muu sen kanssa yhdenmuotoinen hyperbeli, jonka asymptootit leikkaavat toisensa kohtisuorasti origossa (esimerkiksi yksikköhyperbeli ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$. Hyperbolisen sanotaan olevan perusasemassaan, kun sitä rajoittavat hyperbeli xy=1 ja kun a=1 ja b > 1.

Hyperbolisiin sektoreihin perustuvat hyperboliset funktiot.

Perusasemassa olevan hyperbolisen sektorin pinta-ala on b:n luonnollinen logaritmi ln b.

Tämä voidaan todistaa integroimalla funktio 1/x välin [1, b] yli, lisäämällä integraaliin kolmion {(0,0), (1,0, (1,1)} pinta-ala ja vähentämällä kolmion {(0,0, (b,0), b,1/b)} pinta-ala.^[1]

Perusasemassa oleva hyperbolinen sektori vastaa origoon asetettua hyperbolista kulmaa, jonka suuruus määritellään vastaavan hyperbolisen sektorin pinta-alana.

Perusasemassa olevaa hyperboliseen sektoriin liittyy hyperbolinen kolmio. Se on suorakulmainen kolmio, jonka yksi kärki on origossa, toinen kateetti suoralla y = x ja kolmas kärki hyperbelillä

${\displaystyle xy=1,\,}$

jolloin sen hypotenuusa on orgiosta hyperbelillä olevaan pisteeseen (x,y) johtava jana. Tämän kolmion kanta eli suoralla y=x olevan kateetin pituus on

${\displaystyle {\sqrt {2}}\cosh u,\,}$

ja sen korkeus

${\displaystyle {\sqrt {2}}\sinh u,\,}$

missä u on kolmioon liittyvä hyperbolinen kulma.

Trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välistä analogiaa käsitteli Augustus De Morgan teoksessaan Trigonometry and Double Algebra vuodelta 1849.^[2] William Burnside käytti hyperbolisia kolmioita projisoidessaan hyperbelillä xy olevan pisteen päädiagonaalille artikkelissaan "Note on the addition theorem for hyperbolic functions".^[3]

Pääartikkeli: Luonnollinen logaritmi

Tunnetusti funktiolla f(x) = x^p on algebrallinen integraalifunktio

${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.}$,

paitsi tapauksessa p = -1, joka vastaa hyperbelin rajoittaman alueen neliöimistä. Paraabelin rajoittaman alueen pinta-alan osasi määrittää jo Arkhimedes 200-luvulla eKr. tutkielmassaan Paraabelin neliöimisestä (kreik. Τετραγωνισμὸς παραβολῆς)^[4], mutta hyperbelin rajoittamien alueiden pinta-alan onnistui määrittämään vasta Gregoire de Saint-Vincent vuonna 1647 keksittyään uuden funktion, luonnollisen logaritmin, jota hän nimitti hyperboliseksi logaritmiksi, koska siihen päädyttiin määritettäessä hyperbelin alle jäävän alueen pinta-ala.^[5]

Ennen kuin Leonhard Euler vuonna 1748 julkaisi tutkielmansa Johdatus äärettömän analyysiin (lat. Introductio in analysim infinitorum), luonnollinen logaritmi tunnettiin lähinnä vain hyperbolisen sektorin pinta-alaan liittyvänä funktiona. Euler muutti tilanteen ottamalla käyttöön sen tyyppiset transkendenttiset funktiot kuin 10^x. Euler määritteli Neperin luvun e siksi b:n arvoksi, jolla x-akselin, suorien y=1 ja y=b sekä hyperberlin y=1/x välisen alueen pinta-ala on 1. Tämän jälkeen luonnollinen logaritmi voitiin tunnistaa transkendenttisen funktion e^x käänteisfunktioksi.^[6]

Kun Felix Klein vuonna 1928 kirjoitti epäeuklidista geometriaa käsittelevän teoksensa, hän muodosti aiheelle perustan viittamaalla projektiiviseen geometriaan. Muodostaakseen suoralle hyperbolisen mitan hän huomautti, että hyperbolisen sektorin pinta-ala tarjosi sille havainnollisen mallin.^[7]

Hyperbolisia sektoreita voidaan piirtää myös liittyen hyperbeliin ${\displaystyle y={\sqrt {1+x^{2}}}}$. Näiden hyperbolisten sektoreiden pinta-alojen avulla on eräissä geometrian oppikirjoissa määritelty hyperbolinen etäisyys.^[8]

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Hyperbolic sector

• Mellen W. Haskell: On the introduction of the notion of hyperbolic functions. Bulletin of the American Mathematical Society, 1895, 1. vsk, nro 6, s. 155–159. Artikkelin verkkoversio.