Arkhimedeen lause

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Reaalilukuja koskevan Arkhimedeen lauseen mukaan jokaista reaalilukua r kohtaan löydetään positiivinen kokonaisluku k siten, että

${\displaystyle k>r}$.

Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla ${\displaystyle E}$ ja jotain sen ylärajaa symbolilla ${\displaystyle B}$, ja määritellään ${\displaystyle E=:\{m\in \mathbb {N} \mid m\leq B\}}$. Koska joukko ${\displaystyle E}$ on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman nojalla pienin yläraja eli supremum, ${\displaystyle G=:\sup {E}}$. Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon ${\displaystyle E}$ alkio ${\displaystyle h}$ siten että ${\displaystyle G-1/2<h}$. Tällöin ${\displaystyle h}$ on joukon ${\displaystyle E}$ maksimi. Mikäli ${\displaystyle h}$ ei olisi maksimi, niin olisi olemassa kokonaisluku ${\displaystyle i\in E}$ siten, että ${\displaystyle G<h+1\leq i}$. Tämä on ristiriita, koska ${\displaystyle j\leq G}$ kaikilla ${\displaystyle j\in E}$. Täten siis ${\displaystyle h}$ on joukon ${\displaystyle E}$ maksimi.

Mikäli ${\displaystyle r\leq 0}$, niin 1 on (triviaalisti) haluttu luku ${\displaystyle k}$. Oletetaan siis, että ${\displaystyle r>0}$. Olkoon nyt joukko ${\displaystyle S=:\{l\in \mathbb {N} \mid l\leq r\}}$, jolloin ${\displaystyle S}$ on ylhäältä rajoitettu. Edellä todistetun lauseen nojalla joukolla ${\displaystyle S}$ on maksimi. Merkitään ${\displaystyle W=:maxS}$ ja valitaan ${\displaystyle k=:W+1}$. Nyt ${\displaystyle k}$ ei voi kuulua ${\displaystyle S}$:ään, joten ${\displaystyle k>r}$.

Arkhimedeen lauseen korollaari: jokaista positiivista reaalilukua ${\displaystyle z}$ kohtaan on olemassa luonnollinen luku ${\displaystyle n}$ siten, että ${\displaystyle z>1/n}$.

Olkoon ${\displaystyle z>0}$ reaaliluku. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku ${\displaystyle n}$ siten, että ${\displaystyle n>1/z}$, mikä on yhtäpitävää epäyhtälön ${\displaystyle z>1/n}$ kanssa.

Kahden erisuuren reaaliluvun ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ välissä on aina rationaaliluku ${\displaystyle r}$ ja irrationaaliluku ${\displaystyle i}$ ja molempia vieläpä äärettömän monta eli ${\displaystyle a<i<r<b}$.

Merkitään ${\displaystyle x=:b-a}$. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku ${\displaystyle n}$ siten, että ${\displaystyle x>{\frac {1}{n}}>0}$. Joukolla ${\displaystyle E=:\{k\in \mathbb {Z} \mid k\geq nb\}}$ on olemassa minimiarvo. Merkitään ${\displaystyle p=\min {E}}$. Nyt ${\displaystyle p-1}$ ei kuulu joukkoon ${\displaystyle E}$ ja pätee ${\displaystyle p-1<nb}$, joka on yhtäpitävää epäyhtälön ${\displaystyle {\frac {p-1}{n}}<b}$ kanssa. Pätee myös ${\displaystyle {\frac {p}{n}}\geq b\implies {\frac {p}{n}}-x\geq b-x=a}$, joten ${\displaystyle {\frac {p}{n}}-{\frac {1}{n}}>{\frac {p}{n}}-x\geq a}$. Täten ${\displaystyle b>{\frac {p-1}{n}}>a}$ ja ${\displaystyle r=:{\frac {p-1}{n}}}$ on etsitty rationaaliluku.

Osoitetaan, että tällaisia rationaalilukuja on olemassa äärettömän monta. Todistetaan induktiolla, että löydetään halutunlaisia lukuja mikä tahansa lukumäärä ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$.

Alkuaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku ${\displaystyle r_{1}\in \mathbb {Q} }$ siten, että ${\displaystyle b>r_{1}>a}$.

Induktio-oletus: lukuja, jotka täyttävät ehdon ${\displaystyle b>r>a}$, jossa ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$, on olemassa ${\displaystyle m-1}$ määrä. Tosin sanoen pätee ${\displaystyle b>r_{m-1}>r_{m-2}\ \ldots \ r_{1}>a}$.

Induktioaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku ${\displaystyle r_{m}\in \mathbb {Q} }$ siten, että ${\displaystyle b>r_{m}>r_{m-1}>a}$.

Täten haluttuja lukuja löydetään ${\displaystyle m}$ määrä valittiinpa tämä luku miten suureksi tahansa, sillä nyt pätee ${\displaystyle b>r_{m}>r_{m-1}>r_{m-1}>r_{m-2}\ \ldots \ >r_{1}>a}$.

Etsitään seuraavaksi lukujen ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ välistä irrationaaliluku:

Tämä voidaan tehdä monella tavalla. Esimerkiksi edellä todistetun lauseen nojalla löydetään rationaaliluvut ${\displaystyle r_{a}\in \mathbb {Q} }$ ja ${\displaystyle r_{b}\in \mathbb {Q} }$ siten, että ${\displaystyle b>r_{b}>r_{a}>a}$. Merkitään ${\displaystyle s=:r_{b}-r_{a}}$ eli ${\displaystyle s\in \mathbb {Q} }$. Nyt ilmiselvästi pätee ${\displaystyle b>r_{b}>r_{a}+{\frac {s}{\sqrt {2}}}>r_{a}>a}$ ja ${\displaystyle r_{a}+{\frac {s}{\sqrt {2}}}}$ on irrationaaliluku. Yllä olevan kaltaisella induktiolla osoitetaan, että halutunlaisia irrationaalilukuja on olemassa ääretön määrä.

• Täydellisyysaksiooma
• Yläraja