Teorema de Taniyama-Shimura

El teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente conocido como conjetura de Taniyama-Shimura fue una conjetura, y actualmente un teorema, muy importante dentro de las matemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil, que fuera propuesto por los matemáticos japoneses Yutaka Taniyama y Gorō Shimura.^[1]​ En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce también como teorema de la modularidad.

Enunciado

Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo

${\displaystyle y^{2}=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D}$

tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle D}$ son números racionales.

Una forma modular es una función analítica ${\displaystyle f:H\rightarrow \mathbb {C} }$ del semiplano superior

${\displaystyle H=\{x+iy:y>0\}}$

a los complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$, tal que ${\displaystyle f}$ satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas ${\displaystyle f(x)=f(x+N)}$ para todo ${\displaystyle x}$ y algún entero ${\displaystyle N}$ fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).

El teorema afirma lo siguiente:

Historia

Los trabajos de Andrew Wiles para obtener la demostración del último teorema de Fermat llevaron a la demostración de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura para el caso semiestable (asistido por Richard Taylor), partiendo de la teoría de Deformaciones de Representaciones de Galois creada por B. Mazur y de resultados de Langlands y Tunnell y desarrollando lo que hoy se conocen como Teoremas de Levantamiento Modular 1995.^[2]​ Posteriormente, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor ampliaron el campo de aplicación desde las curvas elípticas semiestables definidas sobre los racionales a todas las curvas elípticas definidas sobre los racionales.^[3]​ Hay duda sobre el aporte de Andrew Wiles; Serge Lang reivindicó a Shimura la paternidad junto con Taniyama. Este último se suicidó a los 31 años en 1958.

Citas

Referencias

• Singh, Simon (2007). «5. Prueba por contradicción». El enigma de Fermat (Segunda edición). Editorial Planeta. ISBN 9788408046790. 

• Aczel, Amir D.: El último teorema de Fermat, Fondo de cultura económica, México,publicado año 2003.