En matemáticas, una integral de Borwein es una integral con unas propiedades peculiares presentada por primera vez por los matemáticos David Borwein y Jonathan Borwein en 2001.[1] Las integrales de Borwein utilizan productos de senos cardinales sinc(ax), donde la función seno cardinal se define como sinc(x) = sen(x)/x para x distinto de 0, y sinc(0) = 1.[1][2]
Estas integrales presentan un aparente esquema regular que acaba rompiéndose de repente. Así,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}{\frac {\operatorname {sen}(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1244d7086bc9ea39459f3721ceffc255dfb92b88)
Este esquema continúa hasta
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640ae973480ba905f3a6334e9cdfa5094a1bed9a)
Sin embargo, con el siguiente término, se produce el siguiente resultado:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d468b56fb9dd2d7727e1d03852ba0c4a6cadb9)
En general, estas integrales tienen por valor π/2 cuando los denominadores 3, 5, 7… son sustituidos por cualesquier números reales positivos tales que la suma de sus inversos es menor que 1.
En el ejemplo anterior, 1/3 + 1/5 + … + 1/13 < 1, pero 1/3 + 1/5 + … + 1/15 > 1.
Al incluir el factor adicional
, el esquema se puede prolongar más allá:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6657983bf71033625b4e02efe64220f2a9392f4b)
pero
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/111)}{x/111}}{\frac {\operatorname {sen}(x/113)}{x/113}}\,dx<{\frac {\pi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfaf52cf1fd0807f38ec1c97f64a43ef160bf734)
En este caso, 1/3 + 1/5 + … + 1/111 < 2, but 1/3 + 1/5 + … + 1/113 > 2.
El motivo por el que estos esquemas, tanto el original como el extendido, se acaban rompiendo se ha podido probar mediante una demostración intuitiva.[3]
Fórmula general
Dada una sucesión de números reales distintos de 0,
, se puede construir una fórmula general para la integral[1]
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\operatorname {sen}(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631fb4530305e6524d008b848b8c5dc6fa3977db)
Para establecer la fórmula, habrá que considerar las sumas a partir de los
. En particular, si
es una
-upla donde cada uno de los términos es
, entonces se puede escribir
, que es una especie de suma alterna de los
, y se puede establecer
, que puede ser 1 o -1. Con esta notación, el valor de esta integral es
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\operatorname {sen}(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a5b6dca12549485ba54631e74c9e83248d9a5b)
donde
![{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8d34e23724eda4e0afc1f80d8a63ea8ff4dd04)
En el caso en que
, se tiene
.
Además, si hay un
tal que para cada
tenemos
y
, que significa que
es el primer valor cuando la suma parcial de los
primeros elementos de la sucesión excede de
, entonces
para cada
, pero
![{\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2486b5c99961c29f732d3a904b665cdd2cf5a607)
El primer ejemplo es el caso cuando
.
Nótese que, si
, entonces
and
, pero
, por lo que, como
, tenemos que
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09b2809d87d74b1f72b31541a1daf9fccb6d1ab)
que se sigue cumpliendo incluso al eliminar cualquiera de los productos, pero
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db775fb63a2ec8988e91d763282ccb1b194ed767)
que es igual al valor dado anteriormente.
Referencias
- ↑ a b c Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), «Some remarkable properties of sinc and related integrals», The Ramanujan Journal 5 (1): 73-89, ISSN 1382-4090, MR 1829810, doi:10.1023/A:1011497229317 .
- ↑ Baillie, Robert (2011). «Fun With Very Large Numbers». arXiv:1105.3943 [math.NT].
- ↑ Schmid, Hanspeter (2014), «Two curious integrals and a graphic proof», Elemente der Mathematik 69 (1): 11-17, ISSN 0013-6018, doi:10.4171/EM/239 .
Enlaces externos
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