Identidad de Binet-Cauchy

En álgebra, la identidad de Binet-Cauchy, que lleva el nombre de Jacques Philippe Marie Binet y de Augustin Louis Cauchy, establece que^[1]​

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\biggr )}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}$

para cada elección de un número real o número complejo (o más generalmente, elementos de un anillo conmutativo). Al configurar a_i = c_i y b_j = d_j, se obtiene la identidad de Lagrange, que es una versión más fuerte de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz para el espacio euclídeo ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$.

La identidad de Binet-Cauchy y el álgebra exterior

Cuando n = 3, el primer y segundo términos en el lado derecho se convierten en las magnitudes cuadradas del producto escalar y del producto vectorial respectivamente; en las dimensiones n, se convierten en las magnitudes del producto esscalar y del producto exterior. Se puede escribir como

${\displaystyle (a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)}$

donde a, b, c y d son vectores. También se puede escribir como una fórmula que da el producto escalar de dos productos exteriores, como

${\displaystyle (a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\,,}$

que se puede escribir como

${\displaystyle (a\times b)\cdot (c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)}$

en el caso n = 3.

En el caso especial a = c y b = d, la fórmula se convierte en

${\displaystyle |a\wedge b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}-|a\cdot b|^{2}.}$

Cuando tanto a como b son vectores unitarios, se obtiene la relación habitual

${\displaystyle \sin ^{2}\phi =1-\cos ^{2}\phi }$

donde φ es el ángulo entre los vectores.

Notación de Einstein

Una relación entre los símbolos de Levi-Cevita y la delta de Kronecker generalizada es

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\varepsilon ^{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\varepsilon _{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}=\delta _{\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}^{\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\,.}$

La forma ${\displaystyle (a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)}$ de la identidad de Binet-Cauchy se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {1}{(n-2)!}}\left(\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }\right)\left(\varepsilon _{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\gamma \delta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\right)=\delta _{\gamma \delta }^{\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\,.}$

Demostración

Desarrollando el último término,

${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}$

${\displaystyle =\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}}$

donde el segundo y cuarto términos son iguales y se suman para completar los términos de la siguiente manera:

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.}$

Esto completa la prueba después de factorizar los términos indexados por "i".

Generalización

Una forma general, también conocida como fórmula de Cauchy–Binet, establece lo siguiente: Supóngase que A es una matriz de orden m×n y B es una matriz de n×m. Si S es un subconjunto de {1, ..., n } con m elementos, se escribe A_S para la matriz de m×m cuyas columnas son aquellas columnas de A que tienen índices de S. De manera similar, se escribe B_S para la matriz de m×m cuyas filas son aquellas filas de B que tienen índices de S.

Entonces, el determinante del producto de A y B satisface la identidad

${\displaystyle \det(AB)=\sum _{\scriptstyle S\subset \{1,\ldots ,n\} \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B_{S}),}$

donde la suma se extiende sobre todos los posibles subconjuntos S de {1, ..., n} con m elementos.

Se obtiene la identidad original como un caso especial configurando

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}.}$

Referencias