Constantes de Stieltjes

En matemáticas, las constantes de Stieltjes ${\displaystyle \gamma _{k}}$ son los coeficientes de la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}}$

Las constantes de Stieltjes se definen por el siguiente límite

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {\ln ^{n}k}{k}}\right)-{\frac {\ln ^{n+1}m}{n+1}}\right]}}$

(En el caso n = 0, el primer sumando requiere la evaluación de 0⁰, que se toma como 1.)

La fórmula integral de Cauchy nos da la siguiente representación integral:

${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.}$

Para el caso n = 0, se recupera la constante de Euler-Mascheroni ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577...}$.

Una aproximación de las primeras constantes viene dada por la siguiente tabla:

n	Valores aproximados de γn
0	0.5772156649015328606065120900824024310421
1	-0.072815845483676724860586
2	-0.0096903631928723184845303
3	0.002053834420303345866160
4	0.0023253700654673000574
5	0.0007933238173010627017
6	-0.00023876934543019960986
7	-0.0005272895670577510
8	-0.00035212335380
9	-0.0000343947744
10	0.000205332814909

Constantes de Stieltjes generalizadas

Más generalmente, se puede definir las constantes de Stieltjes ${\displaystyle \gamma _{k}(q)}$ asociadas a las expansiones en serie de Laurent de la función zeta de Hurwitz:

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}}$

Donde q es un número complejo con Re(q)>0. Como la función zeta de Hurwitz es un generalización de la función zeta de Riemann, tenemos que:

${\displaystyle \gamma _{n}(1)=\gamma _{n}}$

Véase también

• Constante de Euler-Mascheroni
• Función zeta de Riemann
• Serie de Laurent

Enlaces externos

• Constantes de Stieltjes, de 0 a 78 con 256 cada uno (en inglés)