Volumenformel des allgemeinen Tetraeders

Die Volumenformel des allgemeinen Tetraeders ist eine mathematische Formel der Stereometrie. Sie wurde von Leonhard Euler (1707–1793) in dessen berühmter Abhandlung E 231 (Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hederis planis inclusa sunt praedita.) angegeben.^[1][2] Euler behandelt und löst unter Punkt 20 dieser Abhandlung das Problem, eine Formel für das Volumen des allgemeinen Tetraeders allein unter Bezug auf die Längen der sechs Tetraederkanten anzugeben.^[3] Der Volumenformel des allgemeinen Tetraeders liegt also die gleiche Aufgabenstellung zugrunde wie der zur Formel von Heron in der Dreiecksgeometrie.

Gegeben sei ein Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$, also eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche. Die zur dreieckigen Grundfläche gehörigen ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kanten seien mit ${\displaystyle a,\,b,\,c}$ bezeichnet und die im Raum gegenüberliegenden drei ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kanten mit ${\displaystyle a^{'},\,b^{'},\,c^{'}}$ .

Weiter sei für jede ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kanten ${\displaystyle x}$ die Länge dieser Kante mit ${\displaystyle |x|}$ bezeichnet.

Dann gilt für das Tetraedervolumen ${\displaystyle V=V({\mathcal {T}})}$:

${\displaystyle V={\tfrac {1}{12}}\cdot {\sqrt {|a|^{2}\cdot |a^{'}|^{2}\cdot f_{a}+|b|^{2}\cdot |b^{'}|^{2}\cdot f_{b}+|c|^{2}\cdot |c^{'}|^{2}\cdot f_{c}-\delta }}}$

mit

${\displaystyle f_{a}=|b|^{2}+|b^{'}|^{2}+|c|^{2}+|c^{'}|^{2}-|a|^{2}-|a^{'}|^{2}}$

${\displaystyle f_{b}=|a|^{2}+|a^{'}|^{2}+|c|^{2}+|c^{'}|^{2}-|b|^{2}-|b^{'}|^{2}}$

${\displaystyle f_{c}=|a|^{2}+|a^{'}|^{2}+|b|^{2}+|b^{'}|^{2}-|c|^{2}-|c^{'}|^{2}}$

${\displaystyle \delta =|a|^{2}\cdot |b|^{2}\cdot |c|^{2}+|a|^{2}\cdot |b^{'}|^{2}\cdot |c^{'}|^{2}+|a^{'}|^{2}\cdot |b|^{2}\cdot |c^{'}|^{2}+|a^{'}|^{2}\cdot |b^{'}|^{2}\cdot |c|^{2}}$

Für gleichschenkliges Tetraeder gilt ${\displaystyle |x|=|x^{'}|}$ bei jeder der sechs ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kanten ${\displaystyle x}$. Hier vereinfacht sich die Eulerformel wie folgt:^[4]

${\displaystyle V={\tfrac {\sqrt {2}}{12}}\cdot {\sqrt {(|b|^{2}+|c|^{2}-|a|^{2})\cdot (|a|^{2}+|c|^{2}-|b|^{2})\cdot (|a|^{2}+|b|^{2}-|c|^{2})}}}$ ^[5]

Hieraus ergibt sich unmittelbar die bekannte Volumenformel für das reguläre Tetraeder:

${\displaystyle V={\tfrac {\sqrt {2}}{12}}\cdot |a|^{3}}$ ^[6]

Für rechtwinklige Tetraeder gilt der Satz des Pythagoras ${\displaystyle |a|^{2}=|b^{'}|^{2}+|c^{'}|^{2}}$ usw. bei jeder der drei ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kanten ${\displaystyle a,\,b,\,c}$ der Grundfläche. Hier vereinfacht sich die Eulerformel mit dem Spatprodukt der gegenüberliegenden Kanten ${\displaystyle (a^{'},b^{'},c^{'})}$ zu:

${\displaystyle V={\tfrac {1}{6}}\cdot |(a^{'},b^{'},c^{'})|={\tfrac {1}{6}}\cdot |a^{'}||b^{'}||c^{'}|}$.

Zur Darstellung des Tetraedervolumens ${\displaystyle V=V({\mathcal {T}})}$ lassen sich in eleganter Weise auch die folgenden Identitäten benutzen, welche auf Determinanten symmetrischer Matrizen beruhen:^[7][8][9]

${\displaystyle {\begin{aligned}288\cdot V^{2}&=\det {\begin{pmatrix}0&|c|^{2}&|b|^{2}&|a^{'}|^{2}&1\\|c|^{2}&0&|a|^{2}&|b^{'}|^{2}&1\\|b|^{2}&|a|^{2}&0&|c^{'}|^{2}&1\\|a^{'}|^{2}&|b^{'}|^{2}&|c^{'}|^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\\\end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}2|c|^{2}&|c|^{2}+|b|^{2}-|a|^{2}&|c|^{2}+|a^{'}|^{2}-|b^{'}|^{2}\\|c|^{2}+|b|^{2}-|a|^{2}&2|b|^{2}&|b|^{2}+|a^{'}|^{2}-|c^{'}|^{2}\\|c|^{2}+|a^{'}|^{2}-|b^{'}|^{2}&|b|^{2}+|a^{'}|^{2}-|c^{'}|^{2}&2|a^{'}|^{2}\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Die dabei zuerst auftretende Determinante nennt man (nach den beiden Mathematikern Arthur Cayley und Karl Menger) auch eine Cayley–Menger-Determinante.

Die Cayley-Menger-Determinantendarstellung des Tetraedervolumens kann herangezogen werden, um einen klassischen Lehrsatz von Leonhard Euler zu formulieren, nämlich den sogenannten Vierpunktesatz von Euler:^[10]

Vier (nicht notwendig voneinander verschiedene) Raumpunkte ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}}$ liegen genau dann in einer Ebene, wenn die Beziehung

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}&1\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}&1\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}&1\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\\\end{pmatrix}}=0}$

gilt, wobei ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\;(i,j=1,2,3,4)}$ jeweils den euklidischen Abstand der Punkte ${\displaystyle P_{i}}$ und ${\displaystyle P_{j}}$ bezeichnet.

Die Aussage des eulerschen Vierpunktesatzes ist demnach die folgende:

Vier Raumpunkte liegen genau dann in einer Ebene, wenn das von ihnen gebildete Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}={\mathcal {T}}(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ausgeartet ist und damit das Volumen ${\displaystyle V({\mathcal {T}})=0}$ hat.

Originalarbeiten

• Leonhard Euler: Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hederis planis inclusa sunt praedita. In: Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (1752/53). Band 4, 1753, S. 140–160. 

Monographien

• Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing, Bronx NY 1964, OCLC 1597161. 
• György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]). 
• Maximilian Miller: Stereometrie (Sammlung Crantz). B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1957. 
• Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History (= Undergraduate Texts in Mathematics. Readings in Mathematics). Springer Verlag, Heidelberg / New York / Dordrecht / London 2012, ISBN 978-3-642-29162-3, doi:10.1007/978-3-642-29163-0 (MR2918594). 
• Andreas Speiser et al. (Redaktion): Leonhardi Euleri Opera omnia. Series prima. Opera mathematica. Volumen XXVI: Commentationes geometricae. Volumen I. Orell Füssli, Zürich 1953. 

1. ↑ Maximilian Miller: Stereometrie. 1957, S. 41
2. ↑ Der Titel der Abhandlung E 231 lautet auf Deutsch etwa wie folgt: Darlegung einiger kennzeichnender Eigenschaften, mit denen von ebenen Flächen eingeschlossene Körper ausgestattet sind. In dieser Abhandlung gibt Euler den ersten Beweis der Polyederformel an, welche er schon in einer früheren Abhandlung (E 230, abgedruckt unter Elementa doctrinae solidorum, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4, S. 109–140; vgl. Einleitung zu den Commentationes geometricae) erwähnt, aber noch nicht bewiesen hatte.
3. ↑ Andreas Speiser et al.: Leonhardi Euleri Opera omnia. Series prima. Opera mathematica. Volumen XXVI: Commentationes geometricae. Volumen I. 1953, S. 106–107
4. ↑ Dies ergibt sich bei Berücksichtigung der Formel ${\displaystyle (-\alpha +\beta +\gamma )\cdot (\alpha -\beta +\gamma )\cdot (\alpha +\beta -\gamma )=\alpha ^{2}\cdot (-\alpha +\beta +\gamma )+\beta ^{2}\cdot (\alpha -\beta +\gamma )+\gamma ^{2}\cdot (\alpha +\beta -\gamma )-2\cdot \alpha \cdot \beta \cdot \gamma .}$
5. ↑ Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 1964, S. 112
6. ↑ Miller, op. cit., S. 46
7. ↑ I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 157
8. ↑ György Hajós: Einführung in die Geometrie. 1970, S. 383
9. ↑ Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. 2012, S. 297
10. ↑ György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig, S. 384 (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).