Umhüllungssatz

Der Umhüllungssatz (auch Envelope-Theorem, Enveloppen-Theorem oder Einhüllenden-Satz genannt) ist ein grundlegender Satz der Variationsrechnung, der häufig Anwendung in der Mikroökonomie findet. Er beschreibt, wie sich der Optimalwert der Zielfunktion eines parametrisierten Optimierungsproblems bei Änderung der Parameter verhält.

Man unterscheidet üblicherweise zwischen zwei Versionen des Envelope-Theorems: eine für Optimierungsprobleme ohne und eine für solche mit Nebenbedingungen, wobei die erste Version ein Spezialfall der zweiten ist.

Es zeigt sich, dass bei der Berechnung des Effektes erster Ordnung einer Variation von ${\displaystyle q}$ auf ${\displaystyle v(q)=f(\mathbf {x} (q),q)}$ die Änderung von ${\displaystyle \mathbf {x} }$ keinen Einfluss hat.

Erweiterung: Der Satz gilt analog für mehrere Parameter. Es gilt dann für das Maximierungsproblem ${\displaystyle \max _{\mathbf {x} }f(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )}$ mit ${\displaystyle f(\mathbf {x} ;\mathbf {q} )=f(x_{1},\ldots ,x_{n};q_{1},\ldots ,q_{k})}$ (${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{k}}$) und ${\displaystyle v(\mathbf {q} )\equiv f(x_{1}^{*}(\mathbf {q} ),\ldots ,x_{n}^{*}(\mathbf {q} );\mathbf {q} )}$ für beliebiges ${\displaystyle j}$ (${\displaystyle 1\leq j\leq k}$):

${\displaystyle {\frac {\partial v(\mathbf {q} )}{\partial q_{j}}}=\left.{\frac {\partial f(\mathbf {x} ;\mathbf {q} )}{\partial q_{j}}}\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {q} )}}$

Erweiterung: Der Satz ist auch in Fällen mit mehreren Parametern anwendbar. Mit analogen Definitionen gilt dann für beliebiges ${\displaystyle j}$ (${\displaystyle 1\leq j\leq k}$):

${\displaystyle {\frac {\partial v(\mathbf {q} )}{\partial q_{j}}}=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\mathbf {q} )}{\partial q_{j}}}\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {q} )}=\left.{\frac {\partial f(\mathbf {x} ;\mathbf {q} )}{\partial q_{j}}}\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {q} )}-\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\left.{\frac {\partial g_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )}{\partial q_{j}}}\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {q} )}}$

${\displaystyle v(\mathbf {q} )}$ ist die Einhüllende der Kurvenschar ${\displaystyle \{f(\mathbf {x} ,\mathbf {q} ):\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\}}$, daher der Name des Satzes.

Sei exemplarisch folgendes Problem gegeben:

${\displaystyle \max _{x}f(x,\mathbf {q} ),\quad \mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{2}}$ mit ${\displaystyle f(x,\mathbf {q} )=-5x^{2}+10xq_{1}+30xq_{2}+12q_{1}}$.

Bedingung erster Ordnung des Maximierungsproblems ist

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,\mathbf {q} )}{\partial x}}=-10x+10q_{1}+30q_{2}{\overset {!}{=}}0}$.

Stellt man diese Bedingung um, folgt für das „optimale“ ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle x^{*}(\mathbf {q} )=(10q_{1}+30q_{2})/10=q_{1}+3q_{2}}$. Setzt man dieses wieder in die ursprüngliche Funktion ein, liefert das die Optimalwertfunktion ${\displaystyle v(\mathbf {q} )=f(x^{*}(\mathbf {q} ),\mathbf {q} )}$. Es interessiert nun, wie sich diese Optimalwertfunktion ändert, wenn sich ${\displaystyle \mathbf {q} }$ verändert. Dies soll zunächst mit dem Umhüllungssatz und zur Illustration danach „direkt“ gezeigt werden. Mit dem Umhüllungssatz folgt sofort:

${\displaystyle {\frac {\partial v(\mathbf {q} )}{\partial q_{1}}}=\left.{\frac {\partial f(x,\mathbf {q} )}{\partial q_{1}}}\right|_{(x^{*}(\mathbf {q} ),\mathbf {q} )}=10(q_{1}+3q_{2})+12}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial v(\mathbf {q} )}{\partial q_{2}}}=\left.{\frac {\partial f(x,\mathbf {q} )}{\partial q_{2}}}\right|_{(x^{*}(\mathbf {q} ),\mathbf {q} )}=30(q_{1}+3q_{2})}$

Dasselbe Resultat hätte man auch „direkt“ berechnen können. Hierzu muss man die Optimalwertfunktion allerdings explizit berechnen:

${\displaystyle {\begin{aligned}v(\mathbf {q} )&=-5(q_{1}+3q_{2})^{2}+10(q_{1}+3q_{2})q_{1}+30(q_{1}+3q_{2})q_{2}+12q_{1}\\&=-5(q_{1}^{2}+6q_{1}q_{2}+9q_{2}^{2})+10q_{1}^{2}+30q_{2}q_{1}+30q_{1}q_{2}+90q_{2}^{2}+12q_{1}\\&=5q_{1}^{2}+12q_{1}+30q_{1}q_{2}+45q_{2}^{2}\end{aligned}}}$

Und damit ebenfalls

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial v(\mathbf {q} )}{\partial q_{1}}}&=10q_{1}+12+30q_{2}=10(q_{1}+3q_{2})+12\\{\frac {\partial v(\mathbf {q} )}{\partial q_{2}}}&=10q_{2}+30q_{1}+90q_{2}=30(q_{1}+3q_{2})\end{aligned}}}$

Eine Anwendung findet sich in der Mikroökonomie. Dort kann man den Umhüllungssatz sowohl in der Theorie der Unternehmungen als auch in der Theorie der Haushalte einsetzen.

Im Bereich der Theorie der Unternehmungen bezeichnet ${\displaystyle y(x)}$ die Produktionsmenge in Abhängigkeit vom Input ${\displaystyle x}$, so ergibt sich, indem man ${\displaystyle \mathbf {q} =(p,w)}$ als den Preisvektor für Output- und Inputgut setzt, und mit ${\displaystyle f}$ als Produzentengewinn, ${\displaystyle f(x,p,w)=py(x)-wx}$, Hotellings Lemma. Es ist allerdings auch möglich, das Envelope-Theorem in der Kostenminimierung einzusetzen. Dies funktioniert analog zu Shephards Lemma.

In der Theorie der Haushalte wird das Envelope-Theorem im Zusammenhang mit indirekten Nutzenfunktionen verwendet. Dabei kann leicht mittels Roy’s Identität analysiert werden, was bei einer Einkommens- oder einer Preisveränderung passiert. Dafür wird die indirekte Nutzenfunktion partiell abgeleitet nach Einkommen und Preis.

• Hicks’sche Nachfragefunktion
• Roys Identität
• Shephards Lemma

• Consumer Theory and the Envelope Theorem (zum Zusammenhang zwischen Envelope-Theorem und anderen mikroökonomischen Konzepten der Haushaltstheorie) (PDF, 0,1 MB)

• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston, Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-507340-1. [Zum Umhüllungssatz S. 964–966.]
• Carl P. Simon, Lawrence Blume: Mathematics for Economists. W. W. Norton, New York und London 1994, ISBN 0-393-95733-0. [Zum Umhüllungssatz S. 453–457.]
• Thorsten Pampel: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Springer-Verlag 2009, ISBN 3-642-04489-1, Kapitel 15.3: Der Umhüllungssatz

1. ↑ Vgl. Simon/Blume 1994, S. 453 f.
2. ↑ Vgl. Simon/Blume 1994, S. 455 f.; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 965 f.