Der generalisierte Impuls, auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter, oder konjugierter Impuls, tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem konjugierten Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.
Als Funktion des Ortes
und der Geschwindigkeit
ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion
nach der Geschwindigkeit:
![{\displaystyle p_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,,\ j=1\ldots n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3bb78c6da148ef58a187bb7abaa6a376c940a8)
Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator
ersetzt:
![{\displaystyle p_{j}\rightarrow {\hat {p}}_{j}=-\hbar i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382666033e7b28c1821c29a5ba88b3987dab711e)
Beispiele
Klassische Bewegung
- Bei Bewegung eines Teilchens der Masse
in einem Potential
ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten
![{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-V(\mathbf {x} ,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005b15071716c3730584f166e08d7130dc637b0e)
- ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
![{\displaystyle \mathbf {p} =m{\dot {\mathbf {x} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b63a05b15d5d84ab4ba07e766c09280cbe5bb8)
- Bei Bewegung eines Teilchens der Masse
in einem Potential
in Zylinderkoordinaten
![{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\,m{\bigl (}{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2}{\bigr )}-V(r,\varphi ,z,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a231eb2adf94fad9450bbea7e31f8048737374c4)
- ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse:
![{\displaystyle p_{\dot {\varphi }}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\,r^{2}{\dot {\varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35e1f4d20b186c5e30524bd2cfddbcb9deec092)
- Bei Bewegung einer Punktladung
mit Masse
im elektromagnetischen Feld (
ist das elektrische Potential)
![{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbc2c09561997217f3183565448c92b882e0c05)
- hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential
des Feldes:
![{\displaystyle \mathbf {p} =m\,{\dot {\mathbf {x} }}+q\,\mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6b51cf880e614335b14abf819046481ee52def)
Relativistische Bewegung
- Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Masse
in einem Potential
ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten
![{\displaystyle L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-V(\mathbf {x} ,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb75b9de43a73588224b664f41f75df9c933948)
- ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
![{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf4c43c06a1f8011d35014ecade37e36a95e006)
- Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung
mit der Masse
im elektromagnetischen Feld
![{\displaystyle L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8371948bdc8153cc2d915e261468b022f991ea)
- hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:
![{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\,\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf606cf73f55e8d2346acf55dbecb26b3bac90d)
Literatur
- Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.