Frattinigruppe

In der Gruppentheorie ist die Frattinigruppe (oder genauer Frattiniuntergruppe) eine spezielle Untergruppe einer gegebenen Gruppe. Mit ihrer Hilfe kann insbesondere die Struktur endlicher p-Gruppen untersucht werden. Sie ist benannt nach dem italienischen Mathematiker Giovanni Frattini, der sie in einem 1885 erschienenen Artikel definiert hat.^[1]

Ist ${\displaystyle G}$ eine Gruppe, dann ist die Frattinigruppe ${\displaystyle \Phi (G)}$ definiert als der Schnitt aller maximalen Untergruppen von ${\displaystyle G}$.^[2]

Dabei heißt eine Untergruppe ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle G}$ maximal, wenn ${\displaystyle M\neq G}$ gilt und es keine echt größere Untergruppe ${\displaystyle H}$ mit ${\displaystyle M\subsetneq H\subsetneq G}$ gibt.

Falls ${\displaystyle G}$ keine maximalen Untergruppen hat, etwa im Fall der trivialen Gruppe ${\displaystyle G=\{e\}}$ oder mancher unendlicher Gruppen wie der Prüfergruppe, setzt man ${\displaystyle \Phi (G):=G}$.^[3]

• Die Frattinigruppe ist eine charakteristische Untergruppe, also insbesondere ein Normalteiler.
• Ist ${\displaystyle G}$ endlich, dann ist ${\displaystyle \Phi (G)}$ nilpotent. Ist ${\displaystyle G/\Phi (G)}$ ebenfalls nilpotent, dann ist auch ${\displaystyle G}$ nilpotent.
• Gilt ${\displaystyle G=H\Phi (G)}$ mit einer Untergruppe ${\displaystyle H}$ von ${\displaystyle G}$, dann ist ${\displaystyle G=H}$.
• Die Frattinigruppe besteht genau aus den Nichterzeugern von ${\displaystyle G}$, d. h., es gilt ${\displaystyle x\in \Phi (G)}$ genau dann, wenn für jede Teilmenge ${\displaystyle E\subseteq G}$ aus ${\displaystyle G=\langle E,x\rangle }$ stets ${\displaystyle G=\langle E\rangle }$ folgt. Mit anderen Worten: Die Elemente der Frattinigruppe sind in jedem Erzeugendensystem von ${\displaystyle G}$ überflüssig.

• Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 134). Band 1. Nachdruck. Springer, Berlin u. a. 1979, ISBN 3-540-03825-6, Kapitel III.

1. ↑ Giovanni Frattini: Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni. In: Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti. Serie 4, Bd. 1, Fasc. 9, 1884/1885 (1885), ISSN 0001-4435, S. 281–285; Nota II. In: Serie 4, Bd. 1, Fasc. 14, 1885, S. 455–457.
2. ↑ Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-60331-X, S. 98.
3. ↑ Marshall Hall: The Theory of Groups. The Macmillan Company, New York NY 1959, S. 157.