Dieser Artikel behandelt das gaußsche Fehlerintegral, zur verwandten gaußsche Fehlerfunktion siehe Fehlerfunktion.
Das gaußsche Fehlerintegral (nach Carl Friedrich Gauß) ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Es wird häufig mit
bezeichnet und ist das Integral von
bis
über die Dichtefunktion der Normalverteilung mit
und
. Da die gesamte Fläche unterhalb der Dichtekurve (auch Gauß-Glocke genannt) gleich 1 ist, ist der Wert des Fehlerintegrals für
ebenfalls 1 (siehe Abschnitt Normierung).
Definition
Das Fehlerintegral ist durch
![{\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f9eddf6e9ed932eb024ecb08ee22169c606f0d)
definiert.
Lässt man das Integral erst bei
statt bei
beginnen, so spricht man von
:
[1]
Zusammenhang mit der gaußschen Fehlerfunktion
Durch die Substitution
in den oben genannten Formeln und durch passende Umformungen lässt sich aus
bzw.
die Fehlerfunktion
![{\displaystyle \operatorname {erf} (z)=2\Phi ({\sqrt {2}}\,z)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f791f524d72a7c554c217d727d314ee074623e54)
bzw.
![{\displaystyle \operatorname {erf} (z)=2\Phi _{0}({\sqrt {2}}\,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe7bdbf8afc9ed51904acd1abfd9362045cf381)
herleiten.
Anwendung
Das Fehlerintegral
gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich
annimmt. Umgekehrt kann auch die Wahrscheinlichkeit für einen Wert größer oder gleich
ermittelt werden, indem man
bildet.
Als elektrotechnisches Beispiel sei ein gaußverteiltes Störrauschen der Streuung
angenommen, das einem Übertragungskanal überlagert ist. Dieser Kanal arbeite fehlerfrei, solange die Störungen im Bereich −5 V ... +5 V liegen. Es klärt sich nun schnell die Frage, wie wahrscheinlich eine fehlerhafte Übertragung ist:
Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert nicht größer als -5 V:
![{\displaystyle p_{1}=\Phi (-5\,\mathrm {V} /\sigma )=\Phi (-4)=0{,}317\cdot 10^{-4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbaed0db678a63045087a475fbeaf23d82da62a)
Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert mindestens gleich +5 V:
![{\displaystyle p_{2}=\Phi (\infty )-\Phi (5\,\mathrm {V} /\sigma )=1-\Phi (4)=0{,}317\cdot 10^{-4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5e3c8552072f0b300deb05867bedf4389efb00)
Die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Übertragungsfehler ergibt sich dann aus
Normierung
Um die Normiertheit
nachzuweisen, berechnen wir
![{\displaystyle I:=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9869d9e02783a1d31189cc67aa90416146e2e4cb)
Auch wenn keine Stammfunktion des Integranden als elementare Funktion ausdrückbar ist, gibt es trotzdem mehr als ein halbes Dutzend Lösungswege, seinen Wert zu bestimmen, angefangen bei ersten Näherungen De Moivres aus dem Jahr 1733 über die Arbeiten von Laplace und Poisson aus der Zeit um 1800 bis hin zu einem gänzlich neuen Lösungsansatz S. P. Evesons aus dem Jahr 2005.[2] Einer der entscheidenden Tricks für seine Berechnung (angeblich von Poisson[3]) ist es, auf eine höhere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D-Integrationsgebiet anders zu parametrisieren:
![{\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\mathrm {d} x\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\mathrm {d} y\right)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4f278f32806043423fa0b0488d9272fb939405)
Grundlage für die erste Umformung ist die Linearität des Integrals.
Statt längs kartesischer Koordinaten wird über
nun längs Polarkoordinaten integriert, was der Substitution
und daraus
entspricht, und man erhält schließlich mit dem Transformationssatz
![{\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r\\&=2\pi \int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}r\,\mathrm {d} r\\&=-2\pi \left[e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}\right]_{r=0}^{\infty }\\&=2\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff854f439ee112e947bd1cbd39c38eaebcee24b8)
Damit erhalten wir:
![{\displaystyle \lim _{z\to \infty }\Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}I=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430f510fba3a8bb5e0efae02613e145b2ddfe706)
Siehe auch
- Tabelle Standardnormalverteilung
Einzelnachweise
- ↑ Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-2005-2, S. 477.
- ↑ Peter M. Lee: The probability integral; University of York, Department of Mathematics, 2011, zuletzt abgerufen am 14. Mai 2016.
- ↑ Denis Bell: Poisson’s remarkable calculation - a method or a trick?; Elemente der Mathematik 65, 2010 (PDF; 248 kB)