Brown-Maß

Das Brown-Maß (nicht zu verwechseln mit dem brownschen Maß) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, der das Spektralmaß für Operatoren in der Typ-II-Von-Neumann-Algebra verallgemeinert. Der Begriff wurde 1983 von Lawrence G. Brown eingeführt.^[1] Nach seiner Entdeckung fiel der Begriff in Vergessenheit, bis er 1999 von Uffe Haagerup und Flemming Larsen wiederbelebt und seither intensiv untersucht wurde.^[2] Das Brown-Maß findet unter anderem Anwendung in der Theorie der Zufallsmatrizen.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ eine von-Neumann-Algebra (auch ${\displaystyle W^{*}}$-Algebra genannt) mit einem treuen, normalen, Spurzustand ${\displaystyle \tau }$ (englisch faithful, normal, tracial). Für ${\displaystyle T\in {\mathcal {M}}}$ sei ${\displaystyle \mu _{|T|}}$ das Spektralmaß von ${\displaystyle |T|=(T^{*}T)^{1/2}}$ bezüglich ${\displaystyle \tau }$.

Man nennt folgende Operatordeterminante Fuglede-Kadison-Determinante

${\displaystyle \Delta (T)=\exp \left(\int _{0}^{\infty }\log t\mathrm {d} \mu _{|T|}(t)\right).}$

Brown bewies, dass ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu _{T}}$ auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$ mit kompaktem Träger und der Eigenschaft

${\displaystyle \log \Delta (T-\lambda \mathbf {1} )=\int _{\mathbb {C} }\log |z-\lambda |\mathrm {d} \mu _{T}(z),\quad \lambda \in \mathbb {C} }$

existiert. Dieses Maß ${\displaystyle \mu _{T}}$ nennt man Brown-Maß.^[3]

• Uffe Haagerup und Flemming Larsen: Brown’s spectral distribution measure for R-diagonal elements in finite von Neumann algebras. In: Journal of Functional Analysis. Band 176, Nr. 2, 1999, S. 331–367 (englisch, sciencedirect.com). 
• Uffe Haagerup und Hanne Schultz: Brown Measures of Unbounded Operators Affiliated with a Finite von Neumann Algebra. 2006, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0605251, arxiv:math/0605251 (englisch). 
• James A. Mingo und Roland Speicher: Free probability and random matrices. In: Fields Institute Monographs. Vol. 35. Springer Verlag, 2017 (englisch). 

1. ↑ L. G. Brown: Lidskii’s Theorem in the Type II Case. In: Geometric methods in operator algebras in Pitman Res. notes in Math. Kyoto 1986, S. 1–35 (englisch). 
2. ↑ Uffe Haagerup und Flemming Larsen: Brown’s spectral distribution measure for R-diagonal elements in finite von Neumann algebras. In: Journal of Functional Analysis. Band 176, Nr. 2, 1999, S. 331–367 (englisch). 
3. ↑ Uffe Haagerup und Hanne Schultz: Brown Measures of Unbounded Operators Affiliated with a Finite von Neumann Algebra. 2006, S. 1, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0605251, arxiv:math/0605251 (englisch).