Trichotomická relace

Trichotomická relace je pojem z teorie množin, používaný především v teorii uspořádání.

Definice

Relace ${\displaystyle R\,\!}$ na množině ${\displaystyle X\,\!}$ je trichotomická, pokud platí:
${\displaystyle (\forall a,b\in X)([a,b]\in R\vee [b,a]\in R\vee a=b)\,\!}$

Řečeno lidsky: trichotomická relace je ten typ relace, kdy každé dva různé prvky jsou ve vztahu daném touto relací (v případě uspořádání bychom řekli, že jsou srovnatelné).

Příklady

Relace „je menší“ ${\displaystyle <\,\!}$ i „je menší nebo rovno“ ${\displaystyle \leq \,\!}$ jsou trichotomické na množině přirozených čísel, racionálních čísel i reálných čísel.

Relace „je podmnožinou“ ${\displaystyle \subseteq \,\!}$ není trichotomická na potenční množině žádné množiny, která obsahuje alespoň dva prvky.
Pokud jsou ${\displaystyle a,b\in X,a\neq b\,\!}$ potom ${\displaystyle \{a\},\{b\}\in \mathbb {P} (X)\,\!}$,
ale neplatí ani ${\displaystyle \{a\}\subseteq \{b\}\,\!}$, ani ${\displaystyle \{b\}\subseteq \{a\}\,\!}$, ani ${\displaystyle \{a\}=\{b\}\,\!}$.

Motivace

Trichotomická relace svojí definicí trochu připomíná definici úplné relace, ale je o něco obecnější - zatímco pouze neostré uspořádání může být úplné, trichotomické může být i ostré uspořádání i neostré uspořádání.
Toho se využívá v obecné definici lineárního uspořádání, která je stejná pro ostré i neostré uspořádání.

Související články

• Uspořádání
• Lineární uspořádání
• Binární relace
• Úplná relace
• Ireflexivní relace