Integrální kritérium použité na harmonickou řadu. Protože plocha pod křivkou y = 1/x pro je nekonečná, celková plocha obdélníků musí být také nekonečná.
Integrální kritérium konvergence je v matematice metoda pro zjišťování, zda nekonečná řada s nezápornými členy konverguje. Kritérium objevili Colin Maclaurin a Augustin Louis Cauchy, proto jej někteří autoři nazývají Maclaurinovo–Cauchyovo kritérium.
Tvrzení
Uvažujme celé čísloN a nezápornou funkci f definovanou na neomezeném intervalu , na kterém je funkce monotonně klesající. Pak nekonečná řada
který lze porovnávat s nějakými určitými hodnotami Riemannovy funkce zeta.
Hranice mezi divergencí a konvergencí
Výše uvedené příklady s harmonickou řadou vyvolávají otázku, zda existují monotonní posloupnosti tak, že f(n) klesá k nule rychleji než 1/n ale pomaleji než 1/n1+ε v tom smyslu, že
pro každé ε > 0 a zda odpovídající řada f(n) stále diverguje. Pokud nalezneme takovou posloupnost, můžeme položit podobnou otázku, v níž f(n) má roli 1/n, atd. Tímto způsobem je možné zkoumat hranici mezi divergencí a konvergencí nekonečné řady.
Při použití integrálního kritérium konvergence můžeme ukázat (jak je uvedeno níže), že pro každé přirozené číslok řada
(4)
stále diverguje (srovnejte s důkazem, že suma převrácených hodnot prvočísel diverguje pro k = 1) ale
(5)
konverguje pro každé ε > 0. Zde lnk označuje k-násobnou aplikaci přirozeného logaritmu definovanou rekurzivně vztahem
Nk označuje nejmenší přirozené číslo takové, že je definovaná k-násobná aplikace funkce a lnk(Nk) ≥ 1, tj. s použitím tetrace nebo Knuthova zápisu
Pro zjištění divergence řady (4) pomocí integrálního kritéria si všimneme, že opakovaným použitím řetízkového pravidla
KNOPP, Konrad. Infinite Sequences and Series. New York: Dover Publications, Inc., 1956. Dostupné online. ISBN0-486-60153-6. Kapitola 3.3.
WHITTAKER; WATSON. A Course in Modern Analysis. 4. vyd. [s.l.]: Cambridge University Press, 1927 (1963). Dostupné online. ISBN0-521-58807-3. Kapitola 4.43, s. 49.
FERREIRA, Jaime Campos. Introdução à análise matemática. 7. vyd. [s.l.]: Ed Calouste Gulbenkian, 1999. 653 s. ISBN972-31-0179-3.