Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.
Geometrickou posloupnost s nezápornými členy lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na obor přirozených čísel (připouštíme však i základ 0 a 1) a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.
Vyjádření členů posloupnosti
Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.
Rekurentní zadání
Geometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:
![{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\cdot q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5daed5a9ad39be62fa40a20592660c9c95a06e58)
Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:
![{\displaystyle a_{2}=a_{1}\cdot q,\quad a_{3}=a_{1}\cdot q^{2},\quad \ldots ,\quad a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827f40c9d814bffe49895cc49ee713243c776e0a)
První člen a1 má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.
Zadání vzorcem pro n-tý člen
.
Příklad
Například je-li
, pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …
Pro
se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...
Kvocient
Pro kvocient q a libovolné členy posloupnosti
a
platí:
![{\displaystyle {\frac {a_{r}}{a_{s}}}=q^{r-s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f8d343ac56818773ba1af339dde19d3ae12206)
Součet prvních n členů
Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá (pro q≠1):
![{\displaystyle s_{n}=a_{1}\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}=a_{1}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a997da5b182ce66f00cd03d2d4d818e764abb4)
a pro q=1 samozřejmě (jedná se pak o konstantní aritmetickou posloupnost):
![{\displaystyle s_{n}=n\cdot a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2988e79fac1afc7ea147b444a8604cce376aff05)
Tento zvláštní případ lze také dostat z předchozího vzorce limitním přechodem pro
.
Vztahy platí v libovolném komutativním tělese, např. komplexních čísel.
Příklad
Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu (
) je:
![{\displaystyle s_{5}=2\cdot {\frac {3^{5}-1}{3-1}}=242}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329eb79256c1f1efac2defcccc05fc9c5e85b273)
Odvození vzorce
Součet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vyjádřit jako
.
Vynásobením obou stran rovnice kvocientem q vznikne
.
Odečtením první rovnice od druhé vyjde
.
Takže (je-li q různé od 1) platí
.
Pro q = 1 je součet prvních n členů triviální, jedná se o (konstantní) aritmetickou posloupnost (lze dostat i limitním přechodem),
Jiný způsob odvození vzorce
Součet prvních
členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:
,
kde členy
lze vyjádřit pomocí
:
,
přičemž ze součtu lze vytknout
:
.
Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních
členů (ve skutečnosti nás
příliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):
![{\displaystyle s_{n+1}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n+1}=a_{1}\left(1+q+\ldots +q^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054d1d9f09da463d0f041dece99d737e4c39d9c1)
Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro
. V podstatě lze
vypočítat z
dvěma způsoby:
- Součet
má o jeden (poslední) člen více než
:
![{\displaystyle s_{n+1}=s_{n}+a_{1}q^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a249a95c2f63fb9b315eeeb3a06385bdc2466f3)
- Závorka
v
je vlastně závorka
z
vynásobená
a ještě k ní je zleva přičtena 1:
![{\displaystyle \left(1+q+\ldots +q^{n}\right)=1+q\left(1+q+\ldots +q^{n-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a38971e31f9faf87e27d0ef206e6e7eb24ae6a)
- Po vynásobení
lze tuto skutečnost aplikovat na
a
:
![{\displaystyle a_{1}\cdot \left(1+q+\ldots +q^{n}\right)=a_{1}\cdot 1+a_{1}\cdot q\left(1+q+\ldots +q^{n-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a079b6dfa40708750a9eb029cfb90996d85e4f)
![{\displaystyle s_{n+1}=a_{1}+qs_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61236d01d4b80473420b60e3c914c86e648b5b5f)
Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat
. Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:
![{\displaystyle s_{n}+a_{1}q^{n}=a_{1}+qs_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b51143b767ae17987557976668071f6be72bf98)
Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet
(v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet
přestává být zajímavý):
![{\displaystyle s_{n}-qs_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f028f24b7808db5b0768ffbe8dba980ad5aa19)
![{\displaystyle s_{n}\left(1-q\right)=a_{1}\left(1-q^{n}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01516c0ad98a184bd51a3be338773437db132d6)
![{\displaystyle s_{n}=a_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f8a125474241dba44df30831d89080a9451ed4)
Geometrická řada
Součet členů geometrické posloupnosti je označován jako geometrická řada.
Součet geometrické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}}{1-q}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}\cdot q^{n}}{1-q}}\rightarrow \lim _{n\to \infty }s_{n}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {a_{1}}{1-q}}&{\mbox{ pro }}\left|q\right|<1\\\pm \infty ,&{\mbox{ pro }}q\geq 1,\ a_{1}\neq 0\\{\mbox{nekonverguje (osciluje)}}&{\mbox{ pro }}q\leq -1\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b133c58e10af6eebc377e1c374ab5221d7d7ee82)
Geometrická řada tedy konverguje, je-li absolutní hodnota kvocientu q menší než 1.
Vyjádření periodického čísla zlomkem pomocí geometrické řady
- Příklad
Napište jako zlomek s celočíselným čitatelem i jmenovatelem:
Zapíšeme nejprve jako desetinný rozvoj:
...
Pak
(|q| < 1) → konvergentní řada → můžeme vypočítat její součet pomocí vzorečku:
kde
= 1. člen posloupnosti, q = kvocient
Souvislost s geometrickým průměrem
Pro geometrickou posloupnost komplexních čísel platí, že absolutní hodnota každého členu kromě prvního je geometrickým průměrem absolutních hodnot sousedních členů:
Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti (s nezápornými členy) počínaje druhým, tak se jedná o geometrickou posloupnost. Dokáže se např. převedením na aritmetickou posloupnost (logaritmováním).
Souvislost s aritmetickou posloupností
Je-li posloupnost
geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost
aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).
Je-li posloupnost
aritmetická, tak je posloupnost
geometrická (pro libovolný základ b≥0).
Související články