Criteri M de Weierstrass

El criteri M de Weierstrass, de vegades anomenat prova M de Weierstrass és, en matemàtiques, una condició suficient per a assegurar que una sèrie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$ de funcions definides en un conjunt ${\displaystyle A}$ és uniformement convergent. No cal que ${\displaystyle A}$ sigui un espai topològic ni que les funcions siguin contínues, encara que aquest es el cas d'utilització més freqüent.

Enunciat

Criteri M de Weierstrass ^[1][2]. Suposem que ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ és una successió de funcions reals o complexes definides en un conjunt ${\displaystyle A}$ i que existeix una successió de nombres positius ${\displaystyle M_{n}}$ de manera que

${\displaystyle \forall n\geq 1,\forall x\in A:\ |f_{n}(x)|\leq M_{n},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}<\infty }$.

Aleshores la sèrie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

convergeix uniformement a ${\displaystyle A}$.

Comentaris

• En les condicions de l'enunciat es té també que la sèrie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$ és absolutament convergent. Això es dedueix del mateix enunciat.
• El nom en alemany d'aquest enunciat és Weierstraßsches Majorantenkriterium, i aquest sembla l'origen de la lletra M que apareix en el nom que s'usa en la majoria de llengües. Per això també tindria sentit d'anomenar-lo criteri de la majorant de Weierstrass.

Referències

Aquest article té bibliografia, però no se sap quina referència verifica cada part. Podeu millorar aquest article assignant cadascuna d'aquestes obres a frases o paràgrafs concrets.

• Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976. 
• Whittaker; Watson. A Course in Modern Analysis. Fourth. Cambridge University Press, 1927, p. 49.